¿Cómo puedo invertir la ecuación de la matriz triangular $k = (i - 1)(n - \frac{i}{2}) + j - i$ para encontrar el $\{i, j\}$ que da como resultado $k$ ?

Question

Estoy tratando de resolver el problema a continuación desde el MMDS libro de texto. Puedo introducir la ecuación en Excel para ver que $i=7,\text{ }j=8$ es la solución, pero no he podido invertir la ecuación.

$\mathbf{Exercise\,\ 6.2.1:}$ Si utilizamos una matriz triangular para contar los pares, y $n$ el número de artículos, es $20$ , el recuento de pares está en $a[100]?$

Para contextualizar un poco, esto es lo que dice el libro sobre las matrices triangulares:

El método de la matriz triangular

Incluso después de codificar los elementos como números enteros, seguimos teniendo el problema de que debemos contar un par $\{i,j\}$ en un solo lugar. Por ejemplo, podríamos ordenar el par de forma que $i<j$ y utilice únicamente la entrada $a[i,j]$ en una matriz bidimensional $a$ . Esa estrategia haría inútil la mitad de la matriz. Una forma más eficiente de ahorrar espacio es utilizar una matriz unidimensional triangular. Almacenamos en $a[k]$ el recuento de la pareja $\{i,j\}$ con $1\le i<j\le n$ donde $$k=(i-1)\Big(n-\frac{i}{2}\Big)+j-i$$ El resultado de esta disposición es que los pares se almacenan en orden lexicográfico, es decir, primero $\{1,2\},\:\{1,3\},\ldots,\{1,n\}$ entonces $\{2,3\},\:\{2,4\},\ldots,\{2,n\}$ y así sucesivamente hasta $\{n-2,n-1\},\:\{n-2,n\}$ y por último $\{n-1,n\}$ .

Estos son los pasos que he seguido:

$$\begin{align} k &= (i - 1)(n - \frac{i}{2}) + j - i \\ k &= ni - \frac{i^2}{2} - n + \frac{i}{2} + j - i \\ 100 &= 20i - \frac{i^2}{2} - 20 + \frac{i}{2} + j - i \\ 120 &= 19.5i - \frac{i^2}{2} + j \end{align}$$

Pero eso ya parece incorrecto porque al enchufar los valores de $i=7,\text{ }j=8$ en la última línea del trabajo que se muestra arriba no se comprueba, pero sé que $i=7,\text{ }j=8$ son correctas porque, como era de esperar:

$$\begin{align} (7 - 1)(20 - \frac{7}{2})+8-7 &= \\ 6(20 - 3.5) + 1 &= 100 \\ \end{align}$$

¿Cómo puedo solucionarlo? ¿Se me da mal el álgebra?

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(EDITAR)

Vale, se me da mal el álgebra. Lo anterior en realidad se mantiene, pero ¿cómo puedo terminar de resolver para $i$ y $j$ ? Estoy recibiendo una respuesta inesperada.

$$120=19.5i-\frac{i^2}{2}+j$$

${}$

$$\begin{align} 0&=\left(-\frac{i^2}{2}\right)+19.5i+(j-120) \\ &=i^2-39i+(-2)(j-120) \\ &=i^2-39i+(-2j+240) \\[0.15ex] &=i^2-39i+(240-2j) \end{align}$$

${}$

$$\frac{39\mp\sqrt{1521-4(240-2j)}}{2}=0$$

${}$

$$\begin{align} \frac{\pm\sqrt{1521-4(240-2j)}}{2}&=-39 \\ 1521-4(240-2j)&=1521 \\ -4(240-2j)&=0 \\ 240-2j&=0 \\ 2j&=240 \\ j&=120\:\,??? \\ \end{align}$$

Answer 1

Te equivocaste cuando pusiste $$\frac{39\mp\sqrt{1521-4(240-2j)}}{2}=0,$$ porque la expresión del lado izquierdo es igual a $i$ (ya que has resuelto la ecuación cuadrática anterior para $i$ ), y por definición, $i$ no puede ser $0$ .

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He aquí una forma de hacerlo, aunque imagino que existen soluciones mejores.

Ampliando el comentario de mathlove, puedes resolver la ecuación $$i^2-39i+240-2j=0$$ para $i$ o $j$ (aunque recomiendo encarecidamente resolverlo para $j$ ) e introduzca valores enteros de la otra variable hasta que encuentre un par que satisfaga $1\le i\lt j\le n$ . Resolviendo la ecuación anterior para $j$ para obtener $$j=\frac{1}{2}i^2-\frac{39}{2}i+120$$ y empezando por $i=1$ subiendo por escalones de $1$ la primera (y única) solución que se encuentra es $i=7,j=8$ .