Pin $^+$ y Pin $^−$ estructura para colectores de cualquier dimensión

Question

Para una orientación $d$ -manifold $M$ podemos preguntarnos si el colector admite una estructura de Spin, por ejemplo, si las funciones de transición para el haz tangente que toman valores en $SO(d)$ puede elevarse a $\operatorname{Spin}(d)$ preservando la condición de cociclo en los solapamientos triples de los gráficos de coordenadas.

Para un desorientado $d$ -manifold $M$ podemos preguntarnos si el colector admite Pin $^+$ o Pin $^−$ (es decir, elevaciones de funciones de transición a o bien $\operatorname{Pin}^+(d)$ o $\operatorname{Pin}^−(d)$ de $O(d)$ . Esto es análogo a elevar las funciones de transición a $\operatorname{Spin}(d)$ de $SO(d)$ para el colector de espín).

Si el colector $M$ es orientable, entonces se cumplen las condiciones para que Pin $^+$ o Pin $^−$ estructuras son las mismas. Así que se reduce a la antigua condición de que $M$ admite o no una estructura Spin.

Toda variedad bidimensional admite un Pin $^−$ estructura, pero no necesariamente un Pin $^+$ estructura.

Toda variedad tridimensional admite un Pin $^-$ estructura, pero no necesariamente un Pin $^+$ estructura.

Pregunta: Para algunos cualquier otro $d$ , digamos $d = 0, 1, 4,$ etc. ¿hay afirmaciones como: cada $d$ -admite un Pin $^-$ ¿Estructura? O, cada $d$ -admite un Pin $^+$ ¿Estructura? ¿O existen condiciones útiles como las clases SW $w_2+w_1^2=0$ como el caso de $d = 2, 3$ ? ¿Cuáles son estas condiciones en otras dimensiones?

P.D. El post original en MSE casi no recibió atención durante una semana.

Answer 1

La condición para tener un $Pin^+$ -es la desaparición de $w_2$ y por tener un $Pin^-$ -es la desaparición de $w_2 +w_1^2$ para variedades de cualquier dimensión. Esto se debe a que el grupo de Lie $Pin^\pm(d)$ es una extensión central $$\mathbb{Z}/2 \longrightarrow Pin^\pm(d) \longrightarrow O(d)$$ por lo que existen secuencias de fibras homotópicas $$BPin^\pm(d) \overset{p^\pm}\longrightarrow BO(d) \overset{k^\pm}\longrightarrow K(\mathbb{Z}/2,2)$$ para $k^\pm \in H^2(BO(d) ; \mathbb{Z}/2)$ la clase que clasifica la extensión central, que según las convenciones es $k^+ = w_2$ y $k^- = w_2 + w_1^2$ .

Si $\pi : E \to B$ es un $d$ -(que no tiene por qué ser el haz tangente de una variedad) clasificado por un mapa $f : B \to BO(d)$ entonces $f$ levanta a lo largo de $p^\pm : BPin^\pm(d) \to BO(d)$ sólo si $k^\pm \circ f : B \to K(\mathbb{Z}/2,2)$ es nulo-homotópico, es decir, si y sólo si $f^*k^\pm =0 \in H^2(B;\mathbb{Z}/2)$ .

Answer 2

Para $d \geq 4$ , dejemos que $M_d = (S^1)^{d-4}\times\mathbb{CP}^2$ . Como los tori son paralelizables, $w(M_d) = w(\mathbb{CP}^2)$ en particular $w_1(M_d) = 0$ y $w_2(M_d) \neq 0$ Así que $M_d$ no admite un Spin, Pin $^+$ o Pin $^-$ estructura.

Por lo tanto, no hay $d \geq 4$ de forma que cada $d$ -admite un Pin $^+$ /Pin $^-$ estructura.