El contraejemplo pretendía demostrar que la distancia de Hellinger al cuadrado no satisface la desigualdad del triángulo

Question

Leí en un artículo que la distancia de Hellinger al cuadrado entre dos densidades $f$ y $g$

$$H^2(f,g)=\frac{1}{2}\int \left(\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}\right)^2 dx$$

no es una métrica. Me pregunto si existe un buen contraejemplo que demuestre esto.

Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí un método para crear ejemplos: Te gustaría contradecir la desigualdad del triángulo, ya que las otras propiedades de una métrica se satisfacen, por lo que buscas densidades $f,g,h$ tal que $2(H^2(f,g) + H^2(g,h) < 2H^2(f,h)$ o, de forma equivalente, por definición $$\int f + g - 2\sqrt{fg} + \int g + h - 2\sqrt{gh} < \int f + h - 2 \sqrt{fh},$$ que equivale a $$\int 2g - 2(\sqrt{fg} + \sqrt{gh}) < \int -2\sqrt{fh}.$$ Ahora puedes construir ejemplos utilizando cualquier densidad $f,g,h$ satisfaciendo lo siguiente: $$fh = 0$$ $$\sqrt{fg} + \sqrt{gh} > g.$$

Por ejemplo, consideremos el dominio $[0,1]$ y las densidades $$g(x) \equiv 1 $$ $$f(x) = 2 \mathcal I_{[0,1/2]}(x)$$ $$h(x) = 2 \mathcal I_{[1/2,1]}(x).$$

$\mathcal I_A$ denota la función indicadora de un conjunto $A$ siendo $1$ en puntos de $A$ y $0$ de lo contrario, así que $\sqrt{fg} + \sqrt{gh} \equiv \sqrt{2} > 1 \equiv g$ .