¿Es el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue una equivalencia lógica?

Question

Sea $(X,\mathcal A,\mu)$ sea un espacio de medidas y $\langle f_n\rangle_{n\in\mathbb N}$ una secuencia de funciones integrables que converge $\mu$ -casi en todas partes. Por el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue, si $\langle|f_n|\rangle_{n\in\mathbb N}$ está limitada por encima por una función integrable, $\lim_{n\to\infty}f_n$ es integrable y $$\int\!\lim_{n\to\infty}f_n\;\mathrm d\mu=\lim_{n\to\infty}\int\!f_n\;\mathrm d\mu\quad.$$

La LDCT no puede utilizarse si no asumimos dicha acotación. Por ejemplo, si $\mu$ es la medida de Lebesgue y $f_n=nI_{[0,1/n]}$ obtenemos $0=1$ .

Pero, ¿es falsa la igualdad siempre que ¿abandonamos esta hipótesis? En otras palabras, ¿se puede sustituir "si" por "si y sólo si" en el enunciado del teorema? ¿O es que hay un integrable no dominado $\mu$ -a. e. secuencia convergente (y una medida) para la que se produce la igualdad?

Answer 1

Lo contrario no es cierto. Tomemos $X = [0,\infty)$ con medida de Lebesgue. Sea $a_n$ sea una secuencia de números positivos tal que $a_n \to 0$ pero $\sum_n a_n = \infty$ . (Por ejemplo, $a_n = 1/n$ funcionaría). Deja que $b_n = \sum_{i=0}^n a_k$ . Entonces $f_n = 1_{[b_{n-1}, b_{n})}$ . Entonces $f_n \to 0$ a.e. y $\int f_n dm = a_n \to 0$ también. Pero si $f$ es una función dominante, debemos tener $f \ge \sup_n f_n = 1$ que no es integrable.

Para conocer la condición necesaria y suficiente para la convergencia, consulte la página Teorema de convergencia de Vitali .

Answer 2

Existe una versión interesante que generaliza el teorema de convergencia dominado por Lebesgue:

Supongamos que $(f_n)$ converge en casi todas partes a $f$ . Además, supongamos que existe una secuencia $(g_n)$ de funciones positivas e integrables, que converge en $L^1$ a $g$ tal que $|f_n| \leq g_n$ casi en todas partes.

Entonces $$\lim_{n \to \infty} \int f_n = \int f$$

Prueba: Aplicar el lema de Fatou a la secuencia $h_n = |g_n-g|+|g|+|f|-|f_n-f|\geq 0$ .