Pregunta sobre la identidad de los vectores

Question

Tengo problemas con esta pregunta sobre operadores vectoriales difirienciales. Parece fácil y no estoy seguro de lo que me falta.

La cuestión:

Demuéstralo:

$$ \mathbf{(u\cdot\nabla)u+u\times(\nabla\times u)=}\frac{1}{2}\nabla(|\mathbf{u}|^{2}). $$

Mi intento:

\begin{align*} LHS= & \mathbf{(u\cdot\nabla)u+u\times(\nabla\times u)}\\ = & \mathbf{(u\cdot\nabla)u+\nabla(u\cdot u)-}\mathbf{u(u\cdot\nabla)}\text{ by vector triple product}\\ = & \mathbf{\nabla(u\cdot u)}\text{ and now I would like to write:}\\ = & \nabla(|\mathbf{u}|^{2}). \end{align*}

¿Creo que quizás mi cancelación en la segunda línea es incorrecta? I Intenté usar la notación del índice pero puesto que estoy utilizando probablemente un incorrecto identidad incorrecta en alguna parte esto sólo oscureció lo que estaba pasando.

Agradecería cualquier ayuda. Por favor, intente utilizar el menor número de como sea posible (a menos que sean realmente fundamentales).

Answer 1

¿por qué no miras el $x$ -¿componente de la lhs? tienes que tener $$\begin{align}\left( (u \cdot \nabla)u + u \times (\nabla \times u ) \right).i &= uu_x +vu_y + wu_z + v(v_x-u_y) -w(u_z-w_x)\\ &= uu_x+vv_x+ww_x\\ &= \nabla\left(\frac12\left(u^2 + v^2 + w^2\right) \right).i\\ &=\nabla\left(\frac12\lvert u \rvert^2 \right).i\end{align}$$

por lo tanto $$(u \cdot \nabla)u + u \times \nabla \times u = \nabla\left(\frac12\lvert u \rvert^2 \right). $$

Answer 2

Pista: Utiliza la identidad: $$ \nabla(\vec u \cdot \vec v)=\vec u \times (\nabla \times \vec v)+\vec v \times (\nabla \times \vec u)+(\vec u \cdot \nabla ) \vec v +(\vec v \cdot \nabla ) \vec u $$ con $\vec u =\vec v$