Sistema de ecuaciones de 3er grado

Question

Necesito ayuda con el siguiente sistema de ecuaciones:

$ 2y^3 +2x^2+3x+3=0 $

$ 2z^3 + 2y^2 + 3y + 3= 0 $

$2x^3 + 2z^2 + 3z + 3 = 0$

Answer 1

La única solución real es $x = y = z = -1$ .

Reclamación 1: $x,y,z \ge -1$ .

Prueba . Supongamos que $x < -1$ . Entonces $0 = 2y^3 + 2x^3 + 3x + 3 > 2y^3 + 2$ de modo que $y < -1$ también. Del mismo modo se deduce que $z < -1$ . Por lo tanto, si uno de $x,y,z$ es menor que $-1$ Todos lo son. Pero si por ejemplo $x<z$ tenemos $$0 = 2x^3 + 2z^2 + 3z + 3 < 2z^3 + 2z^2 + 3z + 3 = (z+1)(2z^2 + 3) < 0,$$ y vemos que necesariamente $x=y=z$ lo que implica que $x=y=z=-1$ contradicción.

Reclamación 2: $x,y,z \le -1$ .

Prueba . Supongamos que $x > -1$ es el mayor de $x,y,z$ . Así que $z \le x$ y $$0 = 2x^3 + 2z^2 + 3z + 3 \ge 2z^3 + 2z^2 + 3z + 3 = (z+1)(2z^2 + 3),$$ lo que implica que $z \le - 1$ . Según la reivindicación 1. $z = -1$ y por lo tanto también $x = -1$ y $y = -1$ .