¿Cómo encontrar una fórmula explícita para una función recursiva?

Question

Defina $$ S_{n+1} = \frac{S_n^2+x}{2S_n}$$ y $S_1 = k$ donde x,k > 0. encontrar una fórmula explícita para $S_n$ en función de n.

No sé ni por dónde empezar. Traté de usar la manipulación algebraica para deshacerse de $S_{n+1}$ pero nada funciona. Dado que x tiene que desaparecer estoy pensando que debemos utilizar ratios.

Answer 1

Puede tener la forma cerrada

$$S_n = \sqrt {x}\coth \left( 2^{n-1}{ \coth^{-1}} \left( {\frac {k}{\sqrt {x}}} \right)\right) .$$

Añadido: Si se quiere hallar el límite sin hallar la forma cerrada entonces se puede avanzar como: supongamos $\lim_{n\to \infty } S_n = a $ entonces

$$ a=\frac{a^2+x}{2a} \implies a= \pm \sqrt{x}.$$