Sea $f$ sea analítica en $\mathbb{D}$ , $f(0)=-1$ y $|1+f(z)| < 1+|f(z)|$ . Prueba $|f'(0)| \leq 4$ .

Question

Intento resolver el siguiente problema:

Sea $f$ sea analítica en $\mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C}: |z|<1\}$ , $f(0)=-1$ y $|1+f(z)| < 1+|f(z)|$ para $|z|<1$ . Prueba $|f'(0)| \leq 4$ .

Tengo una idea de cómo hacerlo, pero estoy atascado en uno de los pasos.

Me gustaría usar el lema de Schwarz. Así que deseo encontrar una función $h = g \circ f, $ tal que $h(0) = 0$ y donde $g: f(\mathbb{D}) \rightarrow \mathbb{D}$ . Entonces $h$ sería una función de $\mathbb{D}$ à $\mathbb{D}$ y se aplicaría el lema de Schwarz, de modo que $|h'(0)| = |g'(f(0))f'(0)| \leq 1.$ Si entonces he conseguido encontrar un $g$ tal que $g'(-1) = 1/4$ creo que terminaría con la prueba.

En este momento, sin embargo, estoy atascado en lo que $f(\mathbb{D})$ es. Supongo que debería usar la suposición de que $|1+f(z)| < 1 + |f(z)|$ . Simplemente haciendo un dibujo he podido concluir que si $Im(z) = 0$ entonces $Re(z)$ no puede estar en $\left[0, \infty\right].$ Pero eso es todo lo que tengo en este momento...

Answer 1

$|1+f(z)| < 1+|f(z)|$ significa que la igualdad no se cumplen en la desigualdad triangular $$|1+f(z)| \le 1+|f(z)|\, ,$$ y eso significa que $f(z)$ est no un múltiplo real no negativo de $1$ . En otras palabras: $$ f(z) \in \Bbb C \setminus [0, \infty) \, . $$ Es un poco más conveniente considerar $$ -f(z) \in \Bbb C \setminus (-\infty, 0] = U \, . $$ La "rama principal" de la raíz cuadrada cartografía el dominio de la rendija $U$ conformemente al plano medio derecho, y que se mapea conformemente al disco unidad con la transformación de Möbius $T(w) = \frac{w-1}{w+1}$ .

Entonces $$ h(z) = \frac{\sqrt{-f(z)}-1}{\sqrt{-f(z)}+1} $$ mapas $\Bbb D$ en $\Bbb D$ con $h(0) = 0$ y se puede aplicar el lema de Schwarz: $|h'(0)| \le 1$ .

Invirtiendo las composiciones obtenemos $$ f(z) = - \left( \frac{1+h(z)}{1-h(z)} \right)^2 \\ f'(z) = - 4 \frac{1+h(z)}{(1-h(z))^3} h'(z) \\ f'(0) = -4 h'(0) $$ y la conclusión deseada $| f'(0) | \le 4$ sigue. La igualdad se cumple si y sólo si $$ f(z) = - \left( \frac{1+\lambda z}{1-\lambda z} \right)^2 \\ $$ para algunos $\lambda \in \Bbb C$ con $|\lambda| = 1$ .