Todos los ideales primos en el anillo de enteros de un campo bicuadrático

Question

Quiero encontrar todos los ideales primos del anillo de enteros de campos bicuadráticos. Como sé, todo ideal primo $\mathcal{P}$ de un campo numérico algebraico $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ está sobre un ideal generado por un primo $p$ sur $\mathbb{Z}$ . Y, si el primer $p$ sur $\mathbb{Z}$ divide $[\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\alpha]]$ entonces de Ideales primos del anillo de enteros de un campo numérico algebraico Tengo explícitamente todos los primos $\mathcal{P}$ sur $\mathcal{O}_K$ que yace sobre $p$ . Ahora mi primera pregunta es cómo puedo encontrar los otros ideales primos $\mathcal{P’}$ sur $\mathcal{O}_K$ ? \

Y mi segunda pregunta es que para este tipo de ideales primos $\mathcal{P’}$ cómo el campo $\mathcal{O}_{K}/ \mathcal{P’}$ (que yo sepa, para otros casos $\mathcal{O}_{K}/ \mathcal{P}$ es isomorfo a algún campo finito).

Para ello, tengo que calcular primero [ $ \mathcal{O}_K : Z[\alpha] $ ] para cualquier campo bicuadrático $ K = \mathbb{Q}(\alpha) $ . ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Pregunta: "Tengo explícitamente todos los primos P en OK que están sobre p. Ahora mi primera pregunta es ¿cómo puedo encontrar los otros primos ideales P′ en OK? Y mi segunda pregunta es que para este tipo de ideales primos P′ ¿cómo es el campo OK/P′?(según sé, para otros casos OK/P es isomorfo a algún campo finito)."

Contesta: Si $K$ es cualquier campo numérico y $A$ es el anillo de enteros en $K$ el mapa de inclusión $\mathbb{Z} \subseteq A$ es integral. Cualquier ideal primo distinto de cero $\mathfrak{m} \subseteq A$ es máxima y $\mathfrak{m} \cap \mathbb{Z}=(p)$ para algún número primo $p$ . La extensión de campo

$$F1.\text{ }\mathbb{F}_p \subseteq A/\mathfrak{m}$$

es finito, por lo que existe un número entero $r \geq 1$ con $A/\mathfrak{m} \cong \mathbb{F}_{p^r}$ . Tenga en cuenta que $(p):=\mathfrak{m} \cap \mathbb{Z}$ se deduce que existe una inclusión $(p) \subseteq \mathfrak{m}$ y un mapa inyectivo bien definido

$$\phi: \mathbb{F}_p \rightarrow A/\mathfrak{m}$$

Por lo tanto, cualquier primo en $A$ "yace sobre" un ideal primo en $\mathbb{Z}$ y el isomorfismo $F1$ es válida para todos los ideales maximales $\mathfrak{m} \subseteq A$ (el número primo $p$ depende del ideal $\mathfrak{m}$ ).