Solución a $\frac{\operatorname{d}x(t)}{\operatorname{d}t} = -\sin(x(t))$ ?

Question

¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial

$$\frac{\operatorname{d}x(t)}{\operatorname{d}t} = -\sin(x(t))$$

para un caso arbitrario en el que $x_0 \in \mathbb{R}$ y $t \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ ?

$x(0) = x_0$ viene dada por la condición inicial, y sé que

$$ \lim_{t\to\infty}x(t) = \left\{\begin{array}{ll} x_0, && \displaystyle\frac{x_0}{2\pi}+0.5 \in \mathbb{Z}\\ 2\pi\left\lfloor\displaystyle\frac{x_0}{2\pi}+0.5\right\rfloor, && \text{otherwise} \end{array}\right. $$

pero es lo que ocurre cuando $t \in (0,\infty)$ que es interesante.

La razón por la que se me ocurrió esto fue que quería una formulación sencilla de un sistema suave (con respecto tanto a $x_0$ y $t$ ) parametrizable con un número continuo, parte de la función identidad y se aproxima a una verdadera función escalera (dura) como $t\to\infty$ y otras sugerencias o parecía ser no liso (es decir, no infinitamente diferenciable) o tienen una parámetro discreto .

Answer 1

$$\frac{dx}{dt}=-\sin x \implies \int \frac{dx}{\sin x}=- \int dt \implies \ln \tan (x/2)=-t+C$$ $$\implies x(t)=2\tan^{-1}[D e^{-t}] \implies x(0)=2\tan^{-1} D \implies D=\tan(x_0/2).$$ Así que finalmente tenemos $$x(t)=2 \tan^{-1}[\tan(x_0/2)~ e^{-t}].$$

Answer 2

Reordena la ecuación para que sea $$ -\frac{x'(t)}{\sin(x(t))} = 1 $$ y antidiferenciar ambos lados para obtener $$ \log\left(\cot\left(\frac{x(t)}{2}\right)\right) = t + c $$ El valor inicial de $x(0) = x_0$ nos da $c=\log(\cot(x_0/2))$ . Resolución de $x(t)$ obtenemos $$ x(t) = 2\mathrm{arccot}(e^{t+c}) = 2\mathrm{arccot}\left(e^t\cot(x_0/2)\right) $$ Hay que elegir la rama adecuada de la cotangente inversa para que $\mathrm{arccot}(\cot(x_0/2)) = x_0/2$ de lo contrario estarás fuera por algún múltiplo de $\pi$ .

Answer 3

Reorganiza y luego integra,

$$\frac{dx(t)}{\sin x(t) } = -dt\implies \int_{x(0)}^{x(t)}\frac{dx(t)}{\sin x(t) } = -\int_0^t dt$$

Utilice $[\ln \tan \frac u2]' = \frac1{\sin u}$ y la condición inicial $x(0) = x_0$ para obtener

$$\ln\left(\tan\frac{x(t)}2\right)- \ln\left(\tan\frac{x_0}2\right)= -t$$

Por lo tanto, la solución es

$$\tan \frac{x(t)}2 = \tan\frac{x_0}2 \>e^{-t}$$