X ' mas combinatoria

Question

Inspirado en los diversos** algebraicas X'mas saludos enviado a mí a lo largo de la época estival, yo pensaba que iba a intentar a uno de los míos.

$$\Large \color{red}{\sum_{i=un-1}^{i-1}}\color{verde}{\sum_{j=s-1}^{i-1}}\color{orange}{\binom {e-x}{m-x}}\color{red}{\binom ex}\color{orange}{ \binom i {- 1}}\color{verde}{\binom j{s-1}}\color{red}{\binom y{\prod_{k=1}^{2014}k}}\\ $$

Los colores son puramente ornamentales!

** En realidad, sólo hay dos versiones: una ecuación con una $\ln función$ y el otro requiere el conocimiento de la segunda ley de Newton; ambos han aparecido en varios lugares de la web así.

Answer 1

$$\large\begin{align} & \color{red}{\sum_{i=un-1}^{i-1}}\color{verde}{\sum_{j=s-1}^{i-1}} \color{orange}{\binom {e-x}{m-x}}\color{red}{\binom ex}\color{orange}{ \binom i {- 1}} \color{verde}{\binom j{s-1}}\color{red}{\binom y{\prod_{k=1}^{2014}k}}\\ &=\color{orange}{\binom {e-x}{m-x}}\color{red}{\binom ex}\color{red}{\binom y{\prod_{k=1}^{2014}k}}\color{red}{\sum_{i=un-1}^{i-1}} \color{orange}{ \binom i {- 1}}\color{verde}{\sum_{j=s-1}^{i-1}}\color{verde}{\binom j{s-1}}\\ &=\color{red}{\binom ex}\color{orange}{\binom {e-x}{m-x}} \color{red}{\binom y{\prod_{k=1}^{2014}k}}\color{orange}{ \binom ra}\color{verde}{\binom rs}\\ &=\color{red}{\binom em}\color{orange}{\binom mx}\color{red}{\binom y{2014!}} \color{orange}{ \binom ra}\color{verde}{\binom rs}\\ &=\color{orange}{\binom mx}\color{red}{\binom em}\color{orange}{ \binom ra} \color{verde}{\binom rs}\color{red}{\binom y{2014!}} \end{align}$$

Merry X'mas, todo el mundo!!!