Problema de la Caja de Cerillos de Banach

Question

Problema de las Cajas de Fósforos de Banach: Supongamos que un matemático lleva siempre consigo dos cajas de fósforos: una en su bolsillo izquierdo y otra en el derecho. Cada vez que necesita un fósforo, tiene la misma probabilidad de tomarlo de cada bolsillo. Supongamos que mete la mano en su bolsillo y descubre por primera vez que la caja elegida está vacía. Si se asume que cada una de las cajas de fósforos originalmente contenía $n$ fósforos, ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente $k$ fósforos en la otra caja?

Me pregunto si el siguiente razonamiento es correcto, porque no coincide con la probabilidad correcta. Pero aquí va mi razonamiento:

Suponiendo que quedan $k$ fósforos en la otra caja, hemos tenido que sacar $2n-k+1$ fósforos para notar que no quedan ninguno. El número total de formas en que podríamos haber sacado esos fósforos es $2 {2n - k \choose n}$, ya sea que la caja de fósforos en el bolsillo izquierdo o derecho tenga $k$ fósforos restantes, y en la selección número $(2n-k+1)$ encontraríamos una caja vacía.

El número total de posibilidades, tomado sobre todos los tamaños posibles $k$, sería entonces $\sum_{m=0}^{n} 2{2n-m \choose n}$. Por lo tanto, asumiría que la probabilidad general sería $\frac{2 {2n - k \choose n}}{\sum_{m=0}^{n} 2 {2n-m \choose n}} =\frac{{2n - k \choose n}}{\sum_{m=0}^{n} {2n-m \choose n}}.

Sin embargo, la solución mencionada es ${2n - k \choose n} (\tfrac{1}{2})^{2n-k}$. ¿Dónde está mi razonamiento erróneo? Gracias de antemano.

Answer 1

Ninguna de las respuestas aborda directamente la pregunta planteada: ¿Qué está mal con el razonamiento propuesto? Aquí está: Para aplicar la fórmula de "ratio" (número de posibilidades favorables dividido por el número total de posibilidades), esas posibilidades deben ser igualmente probables, pero no es el caso. Cada una de las posibilidades 2C(2n-k, n) tiene una probabilidad de (1/2)^(2n-k+1) de ocurrir (n dibujos de un bolsillo, n-k de otro, uno último del primero), lo que depende de k.

El usuario76844 alude a esto en un comentario a su respuesta: "Además, estás asumiendo que cada posibilidad tiene la misma probabilidad (implícita en tu uso de métodos de conteo estrictos), cuando es más probable que k esté cerca de n que cerca de 0... no corregiste la probabilidad de un dado k...no es un simple ejercicio de conteo."

Answer 2

Supongamos que cada vez que el matemático necesita una cerilla, lanza una moneda para determinar de qué bolsillo sacar la cerilla: $H=$Bolsillo izquierdo, $T=$Bolsillo derecho.

Dado que se dio cuenta de que uno de los bolsillos estaba vacío, sabemos que lanzó ya sea $n$ caras o cruces en $2n-k$ lanzamientos, más un lanzamiento adicional al final coincidiendo con el bolsillo vacío. Por lo tanto, supongamos que lanzó $n$ caras, entonces la probabilidad de encontrar su bolsillo izquierdo vacío es:

$P(\#R=k|L=0)=Bin(n;2n-k,p=0.5)\times P(\mathrm{Toss}_{n+1} = H)={2n-k \choose n}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1-k}$

Sin embargo: Esto podría ser igualmente el caso para el bolsillo derecho, por lo que necesitamos DUPLICAR este resultado para obtener:

$${2n-k \choose n}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-k}$$

Answer 3

El ejercicio se puede resolver con la ayuda de la distribución binomial negativa.

Denotemos con éxito el evento de que saque un fósforo del bolsillo (el que tendrá exactamente $k$ al final, asumiendo que es el izquierdo - nos ocuparemos de esta suposición al final) - que ocurre con probabilidad $1/2 - y con fracaso el evento de que saque un fósforo del otro bolsillo (el que estará vacío, digamos que el derecho) - que ocurre con la probabilidad restante, es decir nuevamente $1/2$.

El número $X$ de éxitos antes de $n+1$ fracasos tiene la Distribución Binomial Negativa con parámetros $p=1/2$ y $r=n+1$. (El $+1$ indica el sorteo en el que llegará al bolsillo y estará vacío.) Por lo tanto $$P(X=x)={x+n+1-1 \choose x}\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)^{n+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}={x+n \choose n}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n-k+1}$$

Quieres calcular la probabilidad exacta de $n-k$ éxitos (para que queden exactamente $k$ fósforos en ese bolsillo) antes de $n+1$ fracasos, lo cual está dado por $$P(X=n-k)={n-k+n \choose n}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n-k+1}={2n-k \choose n}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1-k}$$

Dado que no se especificó cuál de los dos bolsillos estará vacío (recuerda la suposición que hicimos al principio) al final debemos duplicar la probabilidad anterior para encontrar la probabilidad requerida, que por lo tanto es igual a $$2\cdot{2n-k \choose n-k}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1-k}={2n-k \choose n}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n-k}$$