Problema de las Cajas de Fósforos de Banach: Supongamos que un matemático lleva siempre consigo dos cajas de fósforos: una en su bolsillo izquierdo y otra en el derecho. Cada vez que necesita un fósforo, tiene la misma probabilidad de tomarlo de cada bolsillo. Supongamos que mete la mano en su bolsillo y descubre por primera vez que la caja elegida está vacía. Si se asume que cada una de las cajas de fósforos originalmente contenía $n$ fósforos, ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente $k$ fósforos en la otra caja?
Me pregunto si el siguiente razonamiento es correcto, porque no coincide con la probabilidad correcta. Pero aquí va mi razonamiento:
Suponiendo que quedan $k$ fósforos en la otra caja, hemos tenido que sacar $2n-k+1$ fósforos para notar que no quedan ninguno. El número total de formas en que podríamos haber sacado esos fósforos es $2 {2n - k \choose n}$, ya sea que la caja de fósforos en el bolsillo izquierdo o derecho tenga $k$ fósforos restantes, y en la selección número $(2n-k+1)$ encontraríamos una caja vacía.
El número total de posibilidades, tomado sobre todos los tamaños posibles $k$, sería entonces $\sum_{m=0}^{n} 2{2n-m \choose n}$. Por lo tanto, asumiría que la probabilidad general sería $\frac{2 {2n - k \choose n}}{\sum_{m=0}^{n} 2 {2n-m \choose n}} =\frac{{2n - k \choose n}}{\sum_{m=0}^{n} {2n-m \choose n}}.
Sin embargo, la solución mencionada es ${2n - k \choose n} (\tfrac{1}{2})^{2n-k}$. ¿Dónde está mi razonamiento erróneo? Gracias de antemano.
