$F\subseteq E\subseteq L$ tal que $|E:F|< \infty$ y $L$ es Galois sobre $F\implies |L:F|$ divide $|E:F|!$

Question

Sea $F\subseteq E$ una extensión de grado finito y $E$ sea separable sobre $F$. Sea $L\supseteq E$ un campo de descomposición sobre $F$ para algún polinomio $g\in F[X]$ con la propiedad de que cada factor irreducible de $g$ en $F[x]$ tiene una raíz en $E$. Primero, quiero demostrar que $L$ es Galois sobre $F$ y segundo $|L:F|$ divide a $|E:F|!$.

Para demostrar que $L$ es Galois sobre $F$, tengo el siguiente teorema para extensiones de Galois:

Si $|L:F|$ es finito y $L$ es un campo de descomposición sobre $F$ para algún polinomio "separable" sobre $F$, entonces $L$ es Galois sobre $F$.

Dado que $E$ es separable sobre $F$ y $L\supseteq E$ es un campo de descomposición sobre $F$ para algún polinomio $g\in F[X]$ con la propiedad de que cada factor irreducible de $g$ en $F[x]$ tiene una raíz en $E$, un factor irreducible de $g$ es un múltiplo unitario de un polinomio minimal $f=\min_F(\alpha)$, donde $\alpha \in E$. Por lo tanto, $g$ es separable sobre $F$, lo que implica que $L$ es Galois sobre $F$ según el teorema anterior.

Ahora tengo que $F\subseteq E \subseteq L$ tal que $|L:F|=|L:E|.|E:F|$ y por el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois $|L:F|=|Gal(L/F)|$.

Mi pregunta es ¿cómo puedo mostrar que $|L:F|$ divide a $|E:F|!$ usando mis trabajos anteriores?

Answer 1

Por la Correspondencia de Galois, esto puede ser traducido en teoría de grupos: sea $G=Gal(L/F)$ y $H=Gal(E/F)$, entonces $|G:H|=[E:F]$. Observa que, debido a que las extensiones son normales y separables, $G$ actúa transitivamente y esto implica que la intersección de todos los conjugados de $H$ en $G$ es trivial, es decir, $core_G(H)=1$. Entonces el llamado Teorema $n!$ de teoría de grupos ahora da el resultado requerido: deja que $G$ actúe en los cocientes izquierdos por multiplicación izquierda. Esta acción de grupo tiene núcleo trivial ($=core_G(H)$) y por lo tanto incorpora a $G$ de forma homomórfica en $S_n$. Por lo tanto, $|G|$ divide a $n!$.