Demuestre que ésta es una condición suficiente para la continuidad de la función

Question

Demuestre que ésta es una condición para la continuidad de $f(x)$ :

Para cualquier secuencia $x_n$ $\rightarrow$ $x$ y para cualquier $w$ si $f(x_n) \geq w$ $\forall n$ entonces $f(x) \geq w$ y si $f(x_n) \leq w$ $\forall n$ entonces $f(x) \leq w$ .

Intentaba demostrar por contradicción pero no sabía muy bien cómo proceder. Pensé que si existe un $\epsilon$ tal que $\forall n$ $|f(x_n) - f(x)| > \epsilon$ no existe $N$ tal que $\forall n > N, |x_n - x| > \epsilon$ . Sin embargo, no pude mostrar esto.

Answer 1

Utiliza la negación de la continuidad. Si $f$ es discontinua en $x$ entonces hay un $\epsilon>0$ tal que cada vecindad de $x$ contiene puntos $t$ para lo cual $|f(t) - f(x) |\geq \epsilon$ .

Así tenemos una infinidad de puntos $t$ cerca de $x$ para lo cual $f(t) \geq f(x) +\epsilon $ o $f(t) \leq f(x) - \epsilon$ . Si hay infinitos puntos que satisfacen la primera desigualdad, entonces tenemos una secuencia $t_n\to x$ con $t_n\neq x$ tal que $f(t_n) \geq f(x) +\epsilon$ . Pero por hipótesis dada esto significa que $f(x) \geq f(x) +\epsilon $ una contradicción evidente. Una contradicción similar se obtiene si hay infinitos puntos cerca de $x$ para satisfacer la desigualdad $f(t) \leq f(x) - \epsilon $ .

De ello se deduce que $f$ debe ser continua en $x$ .