Creo que no es una pregunta difícil, pero tengo un problema. Estaba leyendo "Análisis Real y Complejo" de Rudin, página 70 y estaba tratando de entender $$C_c(X)=C_0(X)\quad(X:\text{compact})$$ donde $$C_c(X)=\text{the collection of continuous functions which have compact support}$$ $$C_0(X)=\text{the collection of continuous functions which vanish at infinity}$$ y cuando se trata de funciones complejas.
La inclusión $\subset$ parece obvio aunque $X$ no es compacto. La inclusión inversa es exactamente el título de esta pregunta ; Las funciones complejas continuas que desaparecen en el infinito tienen soporte compacto.
Pero, mi pregunta exacta es que cómo $f$ tiene un soporte compacto, si $X$ ¿es compacto? El conjunto $\{0\}$ es un subconjunto cerrado del plano complejo, y su imagen inversa $f^{-1}(\{0\})$ también está cerrado, ya que $f$ es continua. Entonces supp( $f$ ), que es el complemento de $f^{-1}(\{0\})$ está abierto. Si supp( $f$ ) fuera cerrado, debería ser compacto, siendo un subconjunto cerrado del conjunto compacto $X$ . Pero supp( $f$ ) está abierto. ¿Qué había de erróneo en mi argumento?
