Hallar los valores máximo y mínimo de una función multivariable en la frontera de un dominio

Question

Tengo la función multivariable: $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy + 2$

Quiero encontrar los valores máximo y mínimo de esta función en el dominio: $$ D=[(x,y) : x,y\ge 0, x^2 +y^2\le4] $$

Encontré que las derivadas parciales eran:

$f_x=3x^2 -3y$

$f_y=3y^2-3x$

A partir de aquí pongo mis dos derivadas parciales iguales $0$ y resuelto para $x$ y $y$ y consiguió $(1,1)$ y $(0,0)$ , creo que estos dos podrían ser potencialmente el max/min que busco, sin embargo sé que hay más posibilidades.

A continuación, he creado una función $g$ donde $g=x^2 + y^2$ ( $g = 4$ )

Sé que $\nabla f= \lambda \nabla g$ así que $(3x^2-3y,3y^2-3x) = \lambda(2x,2y) $

A continuación, establecí $3$ ecuaciones:

$\lambda x = \frac32 (x^2) - \frac32 (y)$

$\lambda y = \frac32 (y^2) - \frac32 (x)$

$x^2 + y^2 = 4$

Pero no estoy seguro de a dónde ir desde aquí y cómo resolver estas ecuaciones para $x$ y $y$ y $\lambda$ . Para ser honesto, ni siquiera estoy seguro de si esta es la mejor manera de responder a esta pregunta.

Si alguien pudiera mostrarme cómo encontraría el máximo y el mínimo de la función en este dominio con un método mejor, o ayudarme a continuar con el mío, me ayudaría mucho.

Answer 1

En ambos métodos, tendrá que comprobar adicionalmente los puntos límite en busca de extremos.

Por cierto, el método del multiplicador de Lagrange en este caso no te da directamente los puntos donde se producen los extremos.

Aplicación del método del multiplicador de Lagrange,

$3x^2 - 3 y = 2 \lambda x \tag1$
$3y^2 - 3 x = 2 \lambda y \tag2$
$x^2+y^2 \leq 4 \tag3$

Si $x, y \ne 0$ de $(1), \lambda = \cfrac{3x^2-3y}{2x}$

Enchufar en $(2), \cfrac{3y^2-3x}{2y} = \cfrac{3x^2-3y}{2x}$

$xy^2 - x^2 = x^2y - y^2$

$(x-y) (x+y+xy) = 0$

Así que $x = y$ es una solución.

Introduciendo la función objetivo, tenemos

$x^3 + y^3 - 3xy + 2 = 2x^3 - 3x^2 + 2 = (x-1)^2 (2x + 1) + 1$

En $x \geq 0$ el mínimo se produce cuando $x = y = 1$

En $x^2 + y^2 = 4$ , $x = y$ da punto $(\sqrt2, \sqrt2)$ que deberías probar.

Por último, compruebe los puntos límite que son $(0, 0), (2, 0)$ y $(0, 2)$ .

El máximo es $10$ en puntos $(2, 0)$ y $(0, 2)$ y el mínimo es $1$ en el punto $(1, 1)$ .

Answer 2

Escriba a $\mu = \frac{2}{3} \lambda$ las ecuaciones se convierten en

\begin{align} \mu x &= x^2 - y , \\ \mu y &= y^2 - x, \\ x^2 + y^2 &=4. \end{align}

A partir de las dos primeras, tenemos

$$ \mu (x-y) = (x-y)(x+y) + (x-y),$$ así

$$ (x-y) ( \mu -1 -x-y) = 0.$$

Entonces $x=y$ o $x + y = \mu-1$ .

En el caso $x=y$ la tercera ecuación te daría dos puntos. En el segundo caso, sumamos las dos primeras ecuaciones para obtener

$$ (\mu +1)( x+y) = 4. $$ Entonces $\mu$ (que tiene dos valores) y a partir de ahí no es difícil encontrar $(x, y)$ utilizando

\begin{align} x+y&= \frac{4}{1+\mu}, \\ x^2 + y^2 &= 4. \end{align}