Clases de equivalencia con esta relación equivalencia

Question

Dada esta relación: $R=\{(a,b) \in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \quad aRb \iff \exists h\in \mathbb{Z}: \quad b+3a=4h\}$ demuestra:

1) $R$ es una relación de equivalencia. Probado.

2) mostrar el conjunto de particiones $\mathcal{Z}_R$ admitido por $R$ .

Para la segunda pregunta, ya tengo una solución (no mía) pero no estoy seguro de que sea correcta: $$\mathcal{Z}_R = \mathbb{Z}^2/R =\{[0]_R,[1]_R\}$$ donde:

$$[0]_R=\{b \in \mathcal{Z}; \quad 0Rb\}= \{b \in \mathcal{Z}; \quad \exists h \in \mathcal{Z}: b=4h \}$$

y

$$[1]_R=\{b \in \mathcal{Z}; \quad 1Rb\}= \{b \in \mathcal{Z}; \quad \exists h \in \mathcal{Z}: b+3=4h \}$$

Esencialmente no entiendo por qué sólo estas 2 clases están en $\mathcal{Z}_R$ . ¿Por qué es esto correcto (si lo es)? Si no es así, ¿puede alguien explicarme cómo encontrar las clases de equivalencia del conjunto de partición?

Answer 1

$$a+3a=4h\iff a+3b\equiv0\pmod4\iff a\equiv-3b\equiv b\pmod4$$

Por lo tanto $$aRb\iff a\equiv b\pmod4$$ Por tanto, hay cuatro clases de equivalencia (¡no hay dos!)

Answer 2

Pista: distinguir entre valores pares e Impares para $a$ . ¿Puedes probarlo?

1) Si $a = 2m+1, m \in \mathbb{Z}$ entonces $a \in [1]_R$ ?

2) Si $a = 2m, m \in \mathbb{Z}$ entonces $a \in [0]_R$ ?

Answer 3

Es evidente que $0$ y $1$ no son equivalentes, ya que $1$ no es múltiplo de $4$ por lo que las clases de equivalencia determinadas por ellas ( $[0]$ y $[1]$ ) son disjuntos. Consideremos ahora cuatro casos:

1. Si $k$ es múltiplo de $4$ entonces $k+3\times0$ es múltiplo de $4$ Así que $k$ está relacionado con $0$ .

2. Si $k=4n+1$ para algún número entero $n$ entonces $k+3\times1$ es múltiplo de $4$ Así que $k$ está relacionado con $1$ .

3. Si $k=4n+2$ para algún número entero $n$ entonces $k+3\times0$ y $k+3\times1$ no son múltiplos de $4$ . Esto demuestra que hay más de dos clases de equivalencia. En este caso, $k$ está relacionado con $2$ (compruébelo), por lo que la tercera clase de equivalencia será $[2]$ .

4. Si $k=4n+3$ para algún número entero $n$ entonces $k+3\times0$ , $k+3\times1$ y $k+3\times2$ no son múltiplos de $4$ lo que significa que $k$ no está en ninguna de las clases de equivalencia que hemos encontrado, por lo tanto, existe otra clase de equivalencia, que es $[3]$ (compruebe que $k$ está relacionado con $3$ ).

En conclusión, existen cuatro clases de equivalencia: $[0]$ , $[1]$ , $[2]$ y $[3]$ .