Cómo hallar la base de la unión de 2 subespacios

Question

Supongamos que tenemos 2 subespacios V,W. ¿Cuál es la base y la dimensión de: V U W ?

Para mí está claro que V U W no siempre es un subespacio.

Yo estaba pensando en tomar la base de U y la base de W y tratar de eliminación de Gauss, pero que no va bien porque por ejemplo:

$V={(a,0,0)|a \text{ from } R}$ . La base de V: $(1,0,0)$

$W={(0,b,0)|b \text{ from } R}$ . La base de V: $(0,1,0)$

Al hacer la eliminación gaussiana a la matriz : $(1,0,0),(0,1,0)$ obtenemos que la base de la unión de V con W es : ${(1,0,0),(0,1,0)}$ y esto no es cierto porque creamos a partir de esta base el vector $(1,1,0)$ que no existe en el unitón de V con W.

¡Muchas gracias!

Stav

Answer 1

Supongo que con "base" se refiere a "fundamento". ¿Qué quiere decir con "base de $V \cup W$ "? Como usted ha señalado, $V \cup W$ no siempre es un espacio vectorial; la definición de "base" sólo se aplica a los espacios vectoriales. Normalmente se habla de la base de el alcance de $V \cup W$ en cuyo caso su método funciona bien.

Tenga en cuenta que si $V \cup W$ hizo tener una base en el sentido tradicional (es decir, que existieran linealmente independientes $v_1, \dots, v_n$ cuya envergadura era igual a $V \cup W$ ), entonces $V \cup W$ sería sin duda un espacio vectorial, aunque esto sólo ocurre cuando $V \subseteq W$ o $W \subseteq V$ .