Sobre funciones positivas en un conjunto infinito

Question

Sea $F\in BV([0,1])$ , $F\geq 0$ y $F\gt 0$ en un conjunto infinito.

¿Podemos tener $F=0$ ¿en casi todas partes con respecto a la medida de Lebesgue?

Me gustaría decir que no, pero no puedo probarlo...

Answer 1

Creo que sí. Tome una especie de función de tipo Dirichlet $$f(x)=\begin{cases} 1&\hbox{ for } x\in Q \cap [0,1]\\ 0&\hbox{ for } x\in (R\setminus Q)\cap [0,1] \end{cases}$$ Esta función es mayor que cero en un conjunto contable, pero es igual a cero en casi todas partes.

Answer 2

Solo toma $F := \sum_{k=0}^\infty {\mathbb{1}_{\{2^{-k}\}} 2^{-k}}$ .