Calcular $\oint_{L} \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2}$ ParteII

Question

El problema original es "Calcular $\oint_{L} \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2}$ donde L es una curva suave, simple, cerrada y orientada positivamente que no pasa por el origen".

Pero, ¿y si modifico la hipótesis y permito una curva cerrada no simple? Es decir, ¿existe alguna fórmula verde que nos permita calcular la "integral de curva cerrada no simple"?

EDITAR :
Me parece que esta integral también debería parecerse a la cerrada simple. Porque la integral de línea común interior debería cancelarse sólo quedando la curva exterior. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

SUGERENCIA: Supongamos que $L$ se cruza con ella en un número finito de puntos. Entonces, si consideramos una parametrización de $L$ deducimos $L=L_1\cup L_2\cup\cdots L_n$ donde $L_k$ es simple. Ahora considere $$ \oint_L f = \sum_k\oint_{L_k} f$$

Answer 2

Debe parametrizar su curva utilizando coordenadas polares: escribir el punto típico $(x,y)=(r(t)\cos\theta(t),r(t)\sin\theta(t))$ donde $r$ y $\theta$ son funciones de $t$ en un intervalo $[a,b]$ . También hay que tener en cuenta que a medida que la curva "se cierra" entonces $r(b)=r(a)$ y $\theta(b)=\theta(a)+2m\pi$ para algún número entero $m$ .

Answer 3

Primero tiene que demostrar que $\oint_{L} \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2}$ es lo mismo que calcular la integral sobre un círculo de radio ' $r$ ' tal que el círculo de radio ' $r$ se encuentra completamente dentro del dominio delimitado por la curva $L$ .

Una vez demostrado esto, el problema se simplifica. Todo lo que necesitas es evaluar la integral sobre un círculo. Esto se puede hacer parametrizando el círculo como $x = r \cos(\theta)$ y $y = r \sin(\theta)$ . Tenga en cuenta que $dx = - r \sin(\theta)d\theta$ y $dy = r cos(\theta)d\theta$ .

También, $x^2 + y^2 = r^2$ .

La integral se convierte entonces en

$$ \int_{0}^{2 \pi} \frac{r\cos(\theta) \times r \cos(\theta) d\theta - r\sin(\theta) \times -r \sin(\theta) d\theta}{r^2} = \int_{0}^{2 \pi} d\theta =2\pi$$

Por lo tanto, obtenemos $$\oint_{L} \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2} = 2\pi$$

Answer 4

En el plano puntuado $\dot{\mathbb R}^2$ tenemos la función arg-"function" tomando valores en $\mathbb R/(2\pi\mathbb Z)$ . Su gradiente es un campo vectorial bien definido, a saber $\nabla$ arg $=(-{y\over x^2+y^2}, {x\over x^2+y^2})$ . Se deduce que para cualquier curva bonita $L$ cerrada o no, simple o no (pero sin pasar por el origen), su integral resume el argumento en curso aumenta/disminuye a lo largo de $L$ . Si $L$ es cerrado, entonces estos arg-incrementos/disminuciones suman $2\pi$ veces el número de $L$ alrededor del origen.