Resolución de la ecuación matricial $X^T~ J ~X=\Phi$ bajo la métrica dada $J$ con simetría sesgada $\Phi$

Question

¿Cómo resuelvo $X$ en la ecuación matricial (con $^T$ que representa la $transpose$ operación):

$X^T~ J ~X=\Phi$ ,

donde $X$ es un $2 \times 5$ matriz, "métrica" $J_{2\times 2}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{bmatrix}$ y $\Phi_{5\times 5}$ ¿es una matriz cuadrada antisimétrica/simétrica con todas las entradas reales?

Answer 1

Desde $J$ tiene rango 2, la ecuación en cuestión sólo es resoluble si el rango de $\Phi$ es 0 ó 2.

Supongamos que $\Phi$ es una matriz simétrica sesgada de rango 2 primero. Entonces existe una matriz ortogonal real $Q$ tal que $Q^T\Phi Q=aJ\oplus 0_{3\times3}$ para algunos $a\ne0$ . Sea $Y=XQ=(\mathbf y_1,\mathbf y_2,\ldots,\mathbf y_5)$ . La ecuación en cuestión equivale entonces a $Y^TJY=aJ\oplus 0_{3\times3}$ que equivale al sistema de ecuaciones \begin{cases} \det(\mathbf y_1,\mathbf y_2)=a,\\ \det(\mathbf y_i,\mathbf y_j)=0 \text{ when } i\notin\{1,2\} \text{ or } j\notin\{1,2\}. \end{cases} La primera ecuación implica que $\mathbf y_1$ y $\mathbf y_2$ son linealmente independientes. A su vez, la segunda implica que $\mathbf y_3=\mathbf y_4=\mathbf y_5=0$ . Por lo tanto, la solución general viene dada por $Y=(M,0_{2\times 3})$ o $X=(M,0_{2\times 3})\,Q^T$ donde $M$ es cualquier $2\times2$ matriz de determinante $a$ .

A continuación consideramos el caso $\Phi=0$ . Por un argumento análogo al anterior, vemos que la solución general viene dada por cualquier matriz $X$ de rango 1 como máximo.