¿Cómo aproximar un parámetro que da una recta tangente a tres circunferencias?

Question

Se colocan tres discos en el suelo de esta manera:

De izquierda a derecha, sus radios son $\frac{1}{x-1}, \frac{1}{x}, \frac{1}{x+1}$ metros. Están situados en un plano perpendicular al suelo. El disco del medio toca a los otros dos discos.

Utilizando sólo papel y bolígrafo, calcula aproximadamente el valor de $x$ tal que el disco del medio es tangente a la recta que es tangente y está por encima de los otros dos discos. Puedes suponer que la Tierra es una esfera de radio $R$ metros.

(Antes de leer la última frase, parece que hay algo mal en la pregunta, porque parece que el disco central nunca debería tocar la línea. Pero el suelo es en realidad un arco circular de la tierra, por lo que el disco central es "empujado hacia arriba" y toca la línea para algún valor de $x$ .)

La respuesta resulta ser, elegantemente, $x\approx R/2$ . Pero el álgebra parece ser horrenda y tuve que usar mi ordenador para encontrar la respuesta.

Mi intento

Llama a los ángulos en el centro del disco central $A, B, C, D, E$ con $A$ en la parte inferior izquierda y en el sentido de las agujas del reloj.

$A=\arccos{\left(\dfrac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}\right)^2+\left(R+\frac{1}{x}\right)^2-\left(R+\frac{1}{x-1}\right)^2}{2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}\right)\left(R+\frac{1}{x}\right)}\right)}$

$B=\arcsin{\left(\dfrac{\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}}{\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}}\right)}$

$C=\dfrac{\pi}{2}$

$D=\arccos{\left(\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}}\right)}$

$E=\arccos{\left(\dfrac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\right)^2+\left(R+\frac{1}{x}\right)^2-\left(R+\frac{1}{x+1}\right)^2}{2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\right)\left(R+\frac{1}{x}\right)}\right)}$

Suponemos que el disco del medio es tangente a la recta que es tangente y está por encima de los otros dos discos. Esto implica:

$$A+B+C+D+E=2\pi$$

Soy totalmente incapaz de aproximar $x$ sin ordenador, incluso después de intentar simplificarlo. Y, sin embargo, la respuesta asistida por ordenador es simplemente $x\approx R/2$ . Puede $x$ aproximarse sin un ordenador?

(Esta pregunta se inspira en una reto del marco .)

Answer 1

Simplifican a $$A=\frac\pi2+\arcsin\frac{\left(R+\frac1x\right)-2}{\left(R+\frac1x\right)(2x-1)}\\ B=\arcsin\frac1{2x-1}\\ C=\frac\pi2\\ D=\frac\pi2-\arcsin\frac1{2x+1}\\ E=\frac\pi2-\arcsin\frac{\left(R+\frac1x\right)+2}{\left(R+\frac1x\right)(2x+1)} $$ Supongamos que $x=O(R)$ .
Los cuatro ángulos clave resultan ser $O(1/R)$ que es lo suficientemente pequeño como para que pueda ignorar el arcoseno con la precisión que necesito, que es $O(1/R^3)$ . Desde el $O(1/R)$ se cancelan exactamente, los términos no lineales $O(1/R^3)$ los términos de los arcosenos también se cancelarán.
$$A\approx\frac\pi2+B-\frac2{\left(R+\frac1x\right)(2x-1)}\\ B+D\approx\frac\pi2+\frac2{4x^2-1}\\ E\approx D-\frac2{\left(R+\frac1x\right)(2x+1)}\\ A+B+C+D+E\approx2\pi+\frac4{4x^2-1}\left(1-\frac{2x}{R+\frac1x}\right)$$ Así que mi estimación de orden principal es $$x\approx\frac R2+\frac1R$$

Answer 2

Utilizando la solución dada por @Blue en los comentarios, no es difícil resolver exactamente la ecuación cúbica en $y$ siempre que utilicemos la solución hiperbólica.

Utilizar sólo papel y bolígrafo el resultado exacto es $$\color{blue}{y=\frac 16 +\frac{\sqrt{r^2+6}}{3 r}\cosh \left(\frac{1}{3} \text{sech}^{-1}\left(\frac{2 r \left(r^2+6\right)^{3/2}}{2 \left(r^2+9\right) r^2+27}\right)\right)}$$ que debe estar muy cerca de una hipérbola.

Utilizar un ordenador para valores grandes de $r$

$$y=\frac 12 + \frac 1 {r^2}\left( 1-\frac{3}{2 r^2}+\frac{5}{r^4}+O\left(\frac{1}{r^6}\right)\right)$$ es decir $$x=\frac r2 + \frac 1 {r}\left( 1-\frac{3}{2 r^2}+\frac{5}{r^4}+O\left(\frac{1}{r^6}\right)\right)$$

como ya dio @Empy2 usando aproximaciones simples y legítimas.