La bola cerrada menos un punto está conectada

Question

¿Podría alguien ayudarme a demostrar que si $B\subset\mathbb{R}^n$ ( $n>1$ ) es una bola cerrada, entonces $B\setminus \{p\}$ es un conjunto conexo para todo $p\in B$ ?

Answer 1

CONSEJO: Deja que $x$ y $y$ dos puntos cualesquiera de $B\setminus\{p\}$ . Si $p$ no está en el segmento de línea $\overline{xy}$ entonces ese segmento de línea es un conjunto conexo en $B\setminus\{p\}$ que contiene $x$ y $y$ . Si $p$ se encuentra en el segmento de recta $\overline{xy}$ , dejemos que $z$ cualquier punto de $B$ que no está en la línea a través de $x$ y $y$ y demuestre que $\overline{xz}\cup\overline{zy}$ es un subconjunto conexo de $B\setminus\{p\}$ que contiene tanto $x$ y $y$ . (En realidad, esto demuestra que $B\setminus\{p\}$ no sólo está conectado, sino que es un camino conectado).

Answer 2

Puede resolver este problema reduciendo a la dimensión $2$ . En primer lugar, cualquier bola cerrada en $R^n$ es homeomorfa a la bola cerrada unitaria en $\mathbb R^n$ por lo que basta demostrar que la bola cerrada unitaria tiene la propiedad que mencionas. Ahora, en la $\mathbb R^2$ , se puede dibujar el argumento para ver que la bola unitaria cerrada menos cualquier punto es camino conectado.

Ahora, para el caso general, dada la bola unitaria cerrada $B$ en $\mathbb R^n$ con $n\ge 2$ un punto $p$ que se retira de $B$ y dos puntos $x,y\in B-\{p\}$ , dejemos que $V$ sea cualquier plano que contenga tanto el origen como $x$ y $y$ (aquí es donde $n\ge 2$ ). La intersección $V\cap B$ es homeomorfa a la bola unitaria en $\mathbb R^2$ . Así, la intersección $V\cap (B-\{p\})$ es homeomorfa o bien a la bola unitaria en $\mathbb R^2$ o a la bola unitaria con un punto eliminado. En cualquier caso, $x$ y $y$ pueden estar conectadas por un camino en la intersección (por el argumento bidimensional) y, por tanto, también en $B-\{p\}$ .

Este argumento demuestra que la propiedad es esencialmente bidimensional.

Answer 3

Sea $C = B \setminus \{p\}$ . Supongamos que $C$ no está conectado, y demostrar que esto conduce a una contradicción.

Si $C$ no es conexo, entonces podemos encontrar dos conjuntos cerrados $X$ y $Y$ tal que $X \cap Y = \emptyset$ y $X \cup Y = C$ . Sea $Z = Y \cup \{p\}$ . Entonces $Z$ está cerrado, $X \cap Z = \emptyset$ y $X \cup Z = B$ . Pero esto implica que $B$ no está conectado, lo cual es falso, por lo que nuestra suposición original debe haber sido errónea.

Advertencia: la última vez que escribí algo parecido fue hace unos 40 años, así que es muy posible que haya olvidado algunas cosas sobre topología. Como siempre, no hay que creerse necesariamente lo que se lee en internet.