Tengo curiosidad por saber cómo es la órbita de la Luna alrededor del Sol. Si hay una respuesta, ¿cuál es la intuición para ello? Aquí hay algunas cosas que asumo cuando trato de abordar esta pregunta:
La órbita de la Luna debe ser cóncava hacia el Sol.
La Luna se acelera al ir hacia el Sol, y se ralentiza al alejarse.
Para un observador en la Tierra, la Luna parece orbitar alrededor de la Tierra $13$ veces al año.
La Tierra, la Luna y el Sol permanecen en el mismo plano.
Tengo curiosidad por saber cómo es la órbita de la luna alrededor del sol.
Uno podría pensar que la órbita (en el marco de descanso del sol) sigue el camino de un epitrochoide .
A (muy) demasiado exagerado de este movimiento (para parámetros no realistas, por lo tanto, no una representación exacta) se puede ver en la siguiente animación: 
Ten en cuenta que si cambias la relación de los diferentes radios a valores que estén a escala, entonces la trama se vería más como una epicicloide como en el siguiente ejemplo de animación. La órbita es más realista pero aún así exagerado porque sería imposible mostrar media órbita a escala.
El resultado correcto se muestra en la vista ampliada del poste de David Hammen arriba, pero la órbita todavía puede ser aproximada por un epicicloide.
Las animaciones anteriores son defectuosas porque el pequeño punto rojo orbita tan rápido como el círculo azul y gira mientras "rueda" alrededor del gran círculo rojo sin deslizarse. Para un un sistema realista Tierra-Luna debería haber un desfase entre la rotación del círculo azul y el punto rojo, como si el círculo azul se "deslizara". O equivalentemente, no se usaría un eje rígido que conectara el centro del círculo azul y el punto rojo. Esto daría como resultado que nunca hubiera una velocidad negativa de la luna con respecto al sol en la forma mostrada por el camino de la epicicloide en la 2ª animación de arriba.
El camino correcto utiliza dos velocidades orbitales diferentes, una para la Tierra alrededor del sol (es decir, 1 año) y otra para la Luna alrededor de la Tierra (es decir, ~27 días). En el siguiente ejemplo, que es el movimiento orbital correcto exageré la relación entre la unidad astronómica y el radio de la Tierra en un factor de 100 y aumenté la órbita de la luna en un factor de cuatro para ayudar a hacer la visualización más obvia.
- La órbita de la Luna debe ser cóncava hacia el Sol.
La órbita de la Luna con respecto al Sol es siempre convexa. Esto se demuestra fácilmente comparando la mínima aceleración gravitatoria posible de la Luna hacia el Sol (5,7 mm/s 2 ) y la máxima aceleración gravitatoria posible de la Luna hacia la Tierra (3,1 mm/s 2 ). El vector de aceleración, y por lo tanto la curvatura, está siempre hacia adentro.
Esto significa que la órbita de la Luna alrededor del Sol no se parece a ninguna de las dos imágenes de abajo:
Phil Plait es normalmente muy bueno. Este es uno de esos lugares donde él era malo. La órbita de la Luna sobre el Sol en cambio se ve así:
(Fuente: http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/convex.html )
Una vista de cerca: 
(Fuente: http://www.wired.com/2012/12/does-the-moon-orbit-the-sun-or-the-earth/ )
- La Luna se acelera al ir hacia el Sol, y se ralentiza al alejarse.
Sí y no. La parte del "sí" es que la característica dominante de la órbita de la Luna sobre el Sol es que la Luna orbita el Sol con la Tierra. Ignorando la aceleración de la Luna hacia la Tierra, la aceleración de la Luna hacia el Sol es mayor ahora a principios de julio cuando el sistema Tierra/Luna está más cerca del Sol que en cualquier otro momento.
La parte del "no": La Luna se aleja ligeramente del Sol cuando la Luna está en el segundo y tercer trimestre. Esto es cuando la aceleración hacia la Tierra coincide con la aceleración hacia el Sol. En el cuarto y primer trimestre, la aceleración hacia la Tierra se dirige contra la aceleración hacia el Sol, ralentizando un poco la Luna con respecto al Sol.
Para un observador en la Tierra, la Luna parece orbitar la Tierra aproximadamente 13 veces al año.
Esto es correcto. Más sobre esto abajo.
La Tierra, la Luna y el Sol permanecen en el mismo plano.
Esto es incorrecto. Como señala Diracology en su respuesta, la órbita de la Luna alrededor de la Tierra está ligeramente inclinada con respecto a la órbita de la Tierra alrededor del Sol.
Observe que uno de los sitios a los que me referí ( http://www.wired.com/2012/12/does-the-moon-orbit-the-sun-or-the-earth/ ) preguntó si la Luna orbita alrededor de la Tierra o del Sol. Ese blog erróneamente dio la respuesta de que la Luna orbita el Sol en lugar de la Tierra. Mirar la aceleración o la forma de la órbita es la forma equivocada de ver la pregunta "¿Orbita el objeto A el objeto X o el objeto Y?"
Una respuesta a la pregunta de "¿la Luna orbita alrededor de la Tierra o del Sol?" es "¡Si!" "Órbita" no es un término mutuamente excluyente. Si uno insiste en una respuesta singular, la forma correcta de ver las cosas es a través de la energía en lugar de la aceleración. Dado que la Luna está gravitacionalmente unida a la Tierra, la Luna efectivamente orbita la Tierra.
Antes de responder, permítanme mencionar que hay un estupendo applet gratuito que muestra las órbitas, incluyendo los vectores de velocidad del sistema Sol/Tierra/Luna:
https://phet.colorado.edu/en/simulation/gravity-and-orbits
Está en java, así que es muy fácil de descargar y usar.
La órbita de la luna debe ser cóncava hacia el sol.
La órbita de la Luna alrededor del Sol es una composición de la órbita de la Luna alrededor del centro de masa del sistema Tierra/Luna y la órbita de este centro de masa alrededor del Sol.
La luna se acelera al ir hacia el sol, y se ralentiza al ir se aleja.
En realidad es al revés (en el marco de referencia del Sol). La luna se ralentiza cuando se mueve hacia el Sol y se acelera cuando se aleja. Puedes ver esto haciendo una composición de velocidad. Cuando los cuerpos se ordenan como Sol--Tierra--Luna las velocidades de la Tierra (aproximadamente la velocidad del centro de masa de la Tierra/Luna) y la velocidad de la Luna son aproximadamente paralelas y la resultante es un gran vector. Cuando se ordenan como Sol-Luna-Tierra, las velocidades son antiparalelas y el resultante es un pequeño vector.
Para un observador en la tierra, la luna parece orbitar la tierra, aproximadamente 13 veces al año.
Bien.
La Tierra, la Luna y el Sol permanecen en el mismo plano.
No. El plano de la órbita de la Luna es ligeramente diferente al plano de la órbita de la Tierra. La diferencia es aproximadamente $5^ \circ ~.$ Por eso es que no toda luna nueva y llena es un eclipse (eclipses solares y lunares, respectivamente). Sólo dos veces al mes (28 días en realidad) la luna cruza el plano de la órbita de la Tierra. Si esto coincide con la alineación Sol-Luna-Tierra tenemos un eclipse solar.
La velocidad orbital de la tierra alrededor del sol es de unos 30 km/s, mientras que la velocidad orbital de la luna alrededor de la tierra es de unos 1 km/s.
De esto se deduce que en ningún punto de su camino alrededor del sol la luna nunca mostrará un movimiento hacia atrás.
La trayectoria es similar a la trayectoria de un punto (luna) en el perímetro de una rueda (algo deslizante) que rueda alrededor de un gran círculo.
La luna está dinámicamente y casi rígidamente (pero por libración) atada a la tierra por medio de una barra sólida invisible, por así decirlo. Es por eso que los habitantes de la Tierra no podemos ver el lado lejano de la Luna desde nuestra base.
El eclipse solar ocurre cuando la vara invisible coloca la luna entre la tierra y el sol proyectando una pequeña sombra sobre la tierra.
El eclipse lunar ocurre cuando la varilla invisible coloca la luna detrás de la tierra en la sombra de la misma.
La animación de Honeste_vivere del movimiento de la luna alrededor del sol está bien representada, excepto que hay de 10 meses a un año en lugar de 12 haciendo los bucles menos densos de lo que deberían estar.
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