¿Es la clase de números ordinales limitada por un número ordinal fijo realmente un conjunto cuando se define mediante números surreales?

Question

En su libro "On Numbers and Games", Conway define los números ordinales como juegos que no tienen opciones a la derecha y cuyas opciones a la izquierda sólo contienen números ordinales. Entonces, fijado un número ordinal $\alpha$ afirma que $V_\alpha=\{\beta : \beta < \alpha\} $ es un conjunto (es decir, no una clase propia). Su prueba (que creo que es errónea) se basa en demostrar que $$ X = {\alpha^L} \bigcup (\bigcup_{\gamma \in \alpha^L} \{\beta : \beta < \gamma\} ) $$ es igual a $V_\alpha$ . En efecto, como la hifotesis por inducción implica fácilmente que $X$ es un conjunto, basta con demostrar que $V_\alpha = X$ . El hecho de que todos los miembros de $X$ está en $V_\alpha$ es obvio. Para demostrar lo contrario, Conway primero observa que si $\beta$ es un número ordinal, entonces $\beta < \alpha \Rightarrow (\exists \alpha_L \in \alpha^L | \beta \le \alpha_L)$ lo cual es fácil de comprobar utilizando la definición de <. Por lo tanto, cualquier miembro $\beta$ de $V_\alpha$ satisface $\beta < \alpha_L$ o $\beta = \alpha_L$ . El primer caso implica claramente $\beta \in X$ . En el segundo caso, porque $\alpha_L \in \alpha^L$ afirma que $\beta \in X$ . Pero no basta, porque aquí el símbolo "=" no es una igualdad en el sentido de la teoría de conjuntos, sino una cierta relación de equivalencia entre juegos. Así pues, ser igual a un miembro de un conjunto no significa necesariamente pertenecer a él. Puede que me esté perdiendo algo, pero creo que la prueba de Conway es incorrecta y necesita un parche.

En general, la clase de todas las representaciones posibles de un juego dado puede no ser un conjunto. Por ejemplo, la regla de la simplicidad implica que $1 = \{0|\alpha\}$ para cualquier número ordinal $\alpha>1$ . Este hecho me hace preguntarme si podría ocurrir algo parecido con los números ordinales. Mi intuición me dice que no porque los números ordinales son una clase muy especial de juegos, pero aun así quería estar seguro antes de intentar parchear la prueba. ¿Es la clase $V_\alpha$ definido anteriormente realmente un conjunto incluso en el contexto de los números surrealistas, en el que cada número tiene infinitos juegos iguales a él?

Gracias de antemano.

Anderson Brasil

Answer 1

Lo he comprobado y si intercambiamos el $\{\beta : \beta < \alpha\}$ para cualquier clase $V_{\alpha}$ de números ordinales menores que $\alpha$ que contenga al menos un representante de todas las clases (es decir, $\forall \beta < \alpha, \exists \gamma \in V_{\alpha}|\gamma=\beta$ ), el argumento de Conway puede adaptarse fácilmente para demostrar que $V_{\alpha}$ es un conjunto. Y todas sus próximas pruebas (al menos hasta el final del capítulo) pueden adaptarse para utilizar esas $V_\alpha$ en lugar de $\{\beta : \beta < \alpha\}$ . Algunas de estas pruebas requirieron algún trabajo adicional escrito así, pero siguen siendo esencialmente las mismas. Conway era un genio, deberíamos haber esperado que sus pruebas fueran básicamente correctas aunque sólo nos dejara un borrador, que requería completar con varios detalles.

Pero, aún así, quería un argumento que demostrara que $\{\beta : \beta < \alpha\}$ era de hecho un conjunto. No me siento muy seguro y cómodo trabajando con clases (sólo recientemente he sentido la necesidad de utilizar algo más que conjuntos), pero creo que tengo una solución.

Lema: Si $\alpha$ y $\beta$ son números ordinales tales que $\beta < \alpha$ entonces $\exists \alpha_{L}\in\alpha^{L}|\beta\le\alpha_{L}$ .
Prueba: $\beta < \alpha \Rightarrow \{\beta^L|\}+\{|-\alpha^L\}<0 \Rightarrow \{\beta^L-\alpha|\beta-\alpha^L\}<0$ . Entonces la definición de $<$ implica que $\exists \alpha_L\in\alpha^L|\beta-\alpha^L \le 0$ . Así que.., $\beta \le \alpha_L$ como queríamos.

Notación: Sea $\alpha$ un número ordinal. Denotaremos la clase de todos los números ordinales $\le \alpha$ por $S_\alpha $ . Y el símbolo $I_\alpha$ denotará la clase de todos los números ordinales iguales a $\alpha$ .

Proposición: Sea $\alpha$ un número ordinal. Entonces la clase $S_\alpha$ es un conjunto.
Prueba: Debido a la hipótesis de la inducción, $S_\gamma$ es un conjunto para cada $\gamma \in \alpha^L$ . Por lo tanto, $L = \bigcup_{\gamma \in \alpha^L}S_\gamma$ es un conjunto.
Ahora afirmamos que si $l$ es un conjunto de números ordinales tales que $\alpha=\{l|\}$ entonces $l \in \wp(L)$ (es decir $l$ es un subconjunto de $L$ ). De hecho, si $\beta \in l$ entonces $\beta < \alpha$ . El lema implica que $\exists \alpha_{L}\in\alpha^{L}|\beta\le\alpha_{L}$ . Así que $\beta \in S_{\alpha_{L}}$ con $\alpha_{L}\in\alpha^{L}$ . Entonces $l\in L$ debido a la definición de $L$ .
Si entendemos un juego como un par ordenado entre dos conjuntos (las opciones izquierda y derecha), entonces la afirmación anterior significa que cada elemento de $I_{\alpha}$ pertenece a $\wp (L) \times \{\emptyset\}$ que es un conjunto. Entonces, $I_{\alpha}$ es un conjunto y podemos definir el conjunto $X=I_{\alpha} \cup L$ . Para terminar nuestra demostración, basta con mostrar que $S_\alpha = X$ .
Para ver que $X \subset S_\alpha$ primero supongamos $\beta\in I_\alpha$ . Entonces $\beta=\alpha$ y por lo tanto $\beta \in S_{\alpha}$ según sea necesario. En el segundo caso, suponemos $\beta\in L$ . Entonces $\exists \gamma \in \alpha^L|\beta \in S_\gamma$ . Pero $\beta \in S_\gamma \Rightarrow \beta < \gamma$ . Y $\gamma \in \alpha^L \Rightarrow \gamma < \alpha$ . Así que.., $\beta \le \alpha$ . Por lo tanto, $\beta \in S_\alpha$ .
Para ver que $S_\alpha \subset X$ , dejemos que $\beta \in S_\alpha$ Así que $\beta \le \alpha$ . Si $\beta = \alpha$ entonces $\beta \in I_\alpha$ y por lo tanto $\beta \in X$ . Y si $\beta < \alpha$ el lema implica que $\exists \alpha_{L}\in\alpha^{L}|\beta\le\alpha_{L}$ . Entonces $\beta \in S_{\alpha_{L}}$ . En $\alpha_{L}\in\alpha^{L}$ entonces $\beta \in L$ Así que $\beta \in X$ .
QED

Obviamente implica en:

Corolario: Dado un número ordinal $\alpha$ la clase de todos los números ordinales $\beta$ tal que $\beta < \alpha$ es un conjunto.

Como queríamos.

Answer 2

De hecho esto no funciona como tal, por ejemplo para $\alpha=\{\{1 \ | \ \varnothing\} \ |\ \varnothing\} \equiv 3$ se obtiene $\{0,1 \ | \ \varnothing\}\notin X$ (para $1$ sólo hay un paréntesis posible).

Así que probablemente haya que demostrar que la clase $\{\beta: \beta = \alpha\}$ es un conjunto. Creo que en algún momento hay que usar el axioma del conjunto de potencias, y quizá Conway quería evitarlo.

En la clase $\mathbf{No}$ de números surrealistas, la clase $V_{\alpha}$ sólo es un conjunto si tomamos Conway de ordinales como juegos, lo que prohíbe representaciones como $0=\{ \varnothing\ | \ \{0 \ | \ \varnothing\}\}$ .

Answer 3

Si te he entendido bien, tu cuestión es que la clase de representaciones de un número surreal dado es propia, por lo tanto si pones todas las representaciones de números ordinales menores en el conjunto izquierdo de tu nuevo número ordinal, no obtienes un conjunto izquierdo, sino una clase propia izquierda.

Bueno, la solución es no poner todos representaciones en el conjunto de la izquierda, pero sólo un representante de cada una de ellas.

Obsérvese que se trata esencialmente del mismo problema al que nos enfrentamos en la teoría de conjuntos cuando definimos la cardinalidad: La clase de todos los conjuntos de la misma cardinalidad que uno dado es propia, y por tanto no puede servir como representación de esa cardinalidad. Así que lo que se hace (en ZFC) es elegir un representante de cada clase e identificar la cardinalidad con ese representante (esto es posible en ZFC debido al teorema del buen orden, que implica que cada conjunto tiene la cardinalidad de un ordinal, así que se puede usar simplemente el ordinal inicial para esto).

Así que el truco consiste en sustituir la clase adecuada por un único representante definible de esa clase. Y en los números surrealistas, esto también es posible.

Una forma de hacerlo es tomar la representación del signo del número surreal (la representación del signo es única), y luego construir un conjunto canónico izquierdo y derecho por la simple regla de que el número surreal representado por cualquier cadena inicial que preceda a un signo más va al conjunto izquierdo, y el número surreal representado por cualquier cadena inicial que preceda a un signo menos va al conjunto derecho.

Esta representación tiene la ventaja de que para los ordinales, se obtiene exactamente la representación de la que hablaba Conway, donde el conjunto de la izquierda contiene todos los ordinales menores, y el conjunto de la derecha está vacío. Esto se debe a que en la representación de signos, cada ordinal está representado por la función constante que mapea ese ordinal a $+$ .

Por último, yendo a la pregunta del título: También en la construcción de números surreales, la clase de todos números ordinales no es un conjunto. De hecho, la construcción dada por Conway coincide con la construcción estándar de los ordinales de von-Neumann en la teoría de conjuntos. Básicamente, el conjunto de la izquierda es el ordinal de von-Neumann con todos los elementos sustituidos por su homólogo surreal, y el conjunto de la derecha está vacío. Así que si esa construcción implicara que todos los ordinales forman un conjunto, también lo implicaría para la clase de ordinales de von-Neumann en ZFC. Lo que sabemos que no es el caso.