Anillo con unidad como suma directa de ideales distintos de cero

Question

Sea $R$ sea un anillo con unidad. Sea $ (a_i),i\in I $ sea una familia de ideales distintos de cero de $R$ . Supongamos que $R$ es una suma directa de la familia $ (a_i),i\in I $ (es decir, el grupo aditivo $R$ es una suma directa de los subgrupos $ a_i,i\in I $ ). Quiero demostrar que en este caso $I$ debe ser un conjunto finito .

Explicaré el argumento que di hasta el punto de mi pregunta:

Tomemos el elemento de identidad $ 1\in R $ . Desde $R$ es la suma directa de los $a_i$ existe un subconjunto finito $I_0 \subseteq I$ y elementos $e_i \in a_i \setminus 0 , i \in I_0$ tal que $1 = \sum_{i \in I_0} e_i $ . Entonces, para cada $x \in R$ tenemos $x = x.1 = \sum_{i \in I_0} xe_i \in \sum_{i \in I_0} a_i $ ya que cada $a_i$ es un ideal, por lo que $R = \sum_{i \in I_0} a_i $ .

Mi idea ahora es demostrar que uno debe tener $I = I_0$ pero tengo la sensación de que me estoy perdiendo algo trivial. ¿Alguien puede ayudarme con este último paso si es posible? Gracias de antemano.

Por último, supongo que cada $a_i$ es un ideal pero, por lo que me han informado, esto también es cierto para ideales de izquierda (o ideales correctos ).

Answer 1

Tu notación es un poco torpe. Los datos que das son una familia $(A_i)_{i\in I}$ de ideales no nulos y sabes que, como grupo abeliano, $$ R=\bigoplus_{i\in I}A_i $$ En particular, cada elemento $r\in R$ puede escribirse unívocamente como $$ r=\sum_{i\in I}r_i \qquad(r_i\in A_i) $$ donde todos menos un número finito de los sumandos $r_i$ son distintos de cero.

Sea $1=\sum_{i\in I}e_i$ y fijar un elemento distinto de cero $x_j\in A_j$ . Entonces $$ x_j=x_j1=x_j\biggl(\sum_{i\in I}e_i\biggr)=\sum_{i\in I}(x_je_i) $$ Por la unicidad de la representación, debemos tener $$ x_je_i=\begin{cases} x_j & \text{if $i=j$}\\ 0 & \text{if $i\ne j$} \end{cases} $$ porque $x_je_i\in A_j$ ya que $A_j$ es un ideal. En particular, $e_j\ne0$ para todos $j\in I$ .

Así $I$ es finito.

Obsérvese que sólo el hecho de que cada $A_i$ es un derecho ideal se ha utilizado. Para el caso de ideales izquierdos, basta con utilizar $1x_j=x_j$ .