¿Cuáles fueron las motivaciones iniciales del uso del forzamiento propio?
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tonyk
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Lo que recuerdo es que primero Laver resolvió la conjetura de Borel mediante una iteración de soporte contable que añadía un real en cada etapa (1976). Que tal iteración pudiera ser de alguna utilidad, fue muy sorprendente en su momento. Entonces Baumgartner introdujo la noción muy general de propiedad A, que incluía la mayoría (¿todas?) de las forzamientos estándar conocidas entonces que añadían reales y demostró que la iteración de soporte contable de las mismas se comporta bien (1978). Luego vino Shelah, que dio la definición adecuada (1980). Esto fue de nuevo algo sorprendente, ya que la definición de Baumgartner era combinatoria (contenía propiedades combinatorias del poset, eh, casi) mientras que Shelah exigía simplemente que P preservara todos los subconjuntos estacionarios de todos los conjuntos de la forma $[A]^{\aleph_0}$ es decir, una definición semántica. Nótese que la nueva teoría de Shelah dio nuevas y elegantes pruebas a viejos teoremas, como la consistencia de Baumgartner de que dos cualesquiera $\aleph_1$ -de reales son isomorfos o la consistencia de Mitchell de la propiedad de árbol de $\aleph_2$ .
Sasha
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197
Roslanowski se lo preguntó una vez a Shelah, y ha tenido la amabilidad de escribir la respuesta que le dio: http://www.unomaha.edu/logic/papers/essay.pdf
Estoy de acuerdo con Andrés en que se trata de una pregunta muy ambiciosa. L
Hasta donde yo sé, la construcción de Jensen de un modelo de CH sin árboles de Souslin fue uno de los primeros usos tanto de la iteración de soporte contable como de las condiciones maestras (condiciones genéricas sobre un submodelo elemental contable de una parte inicial suficientemente grande del universo).
Una de las primeras publicaciones en las que se utiliza el forzamiento propio parece ser Shelah 100, con el hilarante título "Independence results" (JSL 45 (1980), 563-573).
Este documento no sólo introduce el forzamiento propio (sin pruebas del teorema de iteración, etc.), sino también el forzamiento oráculo-ccc y el forzamiento oráculo-propio.
thedeeno
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12553
Según tengo entendido, parte de la motivación inicial fue la observación de las características atractivas de dos clases principales de forzamiento:
- ccc forzado. Preserva todos los cardinales. Preserva subconjuntos estacionarios de $\omega_1$ . Cerrado bajo iteraciones de soporte finito.
- forzamiento contablemente cerrado. Conserva $\omega_1$ . Preserva subconjuntos estacionarios de $\omega_1$ . Cerrado bajo iteraciones de soporte contables.
Y lo que se buscaba era una clase de nociones de forzamiento en la que estos dos tipos de forzamiento pudieran mezclarse en iteraciones, sin dejar de preservar $\omega_1$ . Es decir, lo que se busca es una clase de forzamiento que contenga todos los forzamientos ccc, todos los forzamientos contablemente cerrados, que todos preserven $\omega_1$ y que soportan algún tipo de teorema de iteración. La clase completa de todos los $\omega_1$ -El forzamiento preservador no encaja, ya que no es cerrado bajo iteraciones. Pero mientras tanto, la clase de forzamiento adecuado sí tiene las características deseadas...
