¿Qué es, en términos sencillos, la invariancia gauge?

Question

Soy un estudiante de matemáticas con una afición por la física. Esto significa que he tomado cursos de posgrado en dinámica cuántica y relatividad general sin el grueso de los cursos de física de pregrado y el volumen de educación en las herramientas físicas y la mentalidad que los otros estudiantes que tomaron el curso tenían, como el teorema de Noether, la mecánica lagrangiana y hamiltoniana, los métodos estadísticos, etc.

Los cursos en sí fueron bastante bien. Mi experiencia matemática compensó más o menos la falta de conocimientos físicos. Sin embargo, todavía no he encontrado un elemental explicación de la invariancia gauge (si es que existe). Conozco algunos ejemplos, como que el potencial magnético es único sólo hasta un gradiente (temporal) constante. También me lo encontré en la relatividad general linealizada, donde hay varias perturbaciones diferentes de la métrica del espaciotiempo que dan la misma dinámica observable.

Sin embargo, para entender realmente lo que ocurre, me gusta tener ejemplos más sencillos. Por desgracia, no he podido encontrar ninguno. Supongo que, como la "invariancia gauge" es una frase tan aterradora, nadie utiliza esa palabra cuando escribe a un estudiante de secundaria.

Así que mi pregunta (muy simple) es: En muchos cálculos de física de la escuela secundaria, se mide o se calcula el tiempo, la distancia, la energía potencial, la temperatura y otras cantidades. Estos cálculos muy a menudo dependen sólo de la diferencia entre dos valores, no los valores concretos en sí. Por tanto, es libre de elegir un cero a su gusto. ¿Es éste un ejemplo de invariancia gauge en el mismo sentido que los ejemplos de graduación anteriores? ¿O se trata de dos conceptos diferentes?

Answer 1

La razón por la que es tan difícil entender lo que los físicos quieren decir cuando hablan de "libertad gauge" es que hay al menos cuatro definiciones no equivalentes que he visto utilizar:

• Definición 1: Una teoría matemática tiene libertad gauge si algunos de los grados de libertad matemáticos son "redundantes" en el sentido de que dos expresiones matemáticas diferentes describen exactamente el mismo sistema físico. Entonces los grados de libertad redundantes (o "dependientes del gauge") son "no físicos" en el sentido de que ningún experimento posible podría determinar de forma única sus valores, ni siquiera en principio. Un ejemplo famoso es la fase global de un estado cuántico: es completamente inconmensurable y dos vectores en el espacio de Hilbert que sólo difieren por una fase global describen exactamente el mismo estado. Otro ejemplo, como has mencionado, es cualquier tipo de potencial que deba diferenciarse para obtener una cantidad física - por ejemplo, una función de energía potencial. (Aunque algunos de tus otros ejemplos, como la temperatura, no son ejemplos de cantidades dependientes del gauge, porque hay un sentido físico bien definido de la temperatura cero).

  Para los sistemas físicos que se describen mediante estructuras matemáticas con una libertad gauge, la mejor manera de definir matemáticamente una configuración física específica es como una clase de equivalencia de funciones dependientes del gauge que sólo difieren en sus grados de libertad gauge. Por ejemplo, en la mecánica cuántica, un estado físico no se describe realmente por un único vector en el espacio de Hilbert, sino por una clase de equivalencia de vectores que difieren por un múltiplo escalar global. O, más sencillamente, por un línea de vectores en el espacio de Hilbert. (Si quieres ponerte elegante, el espacio de estados físicos se llama "espacio proyectivo de Hilbert", que es el conjunto de líneas del espacio de Hilbert, o más exactamente una versión del espacio de Hilbert en la que los vectores se identifican si son proporcionales entre sí). Supongo que también se podrían definir las "energías potenciales físicas" como conjuntos de funciones de energía potencial que sólo difieren en una constante aditiva, aunque en la práctica eso es un poco exagerado. Estas clases de equivalencia eliminan la libertad gauge por construcción, y así son "invariantes gauge".

  A veces (aunque no siempre) hay una simple operación matemática que elimina todos los grados de libertad redundantes, pero conservando todos los físicos. Por ejemplo, dada una energía potencial, se puede tomar el gradiente para obtener un campo de fuerza, que es directamente medible. Y en el caso de la E&M clásica, hay ciertas combinaciones lineales de derivadas parciales que reducen los potenciales a directamente medibles ${\bf E}$ y ${\bf B}$ campos sin perder ninguna información física. Sin embargo, en el caso de un vector en un espacio cuántico de Hilbert, no hay ninguna operación de derivación simple que elimine la libertad de fase sin perder nada más.

• Definición 2: Igual que la definición 1, pero con el requisito adicional de que los grados de libertad redundantes sean local . Lo que esto significa es que existe algún tipo de operación matemática que depende de un arbitrario función suave $\lambda(x)$ en el espaciotiempo que deja invariantes los grados de libertad físicos (es decir, las cantidades físicamente medibles). El ejemplo canónico, por supuesto, es que si se toma cualquier función suave $\lambda(x)$ , añadiendo a continuación $\partial_\mu \lambda(x)$ al cuatro-potencial electromagnético $A_\mu(x)$ deja las cantidades físicas (el ${\bf E}$ y ${\bf B}$ campos) sin cambios. (En la teoría de campos, el requisito de que los "grados de libertad físicos" no se modifiquen se expresa como un requisito de que la densidad lagrangiana $\mathcal{L}[\varphi(x)]$ no se modifican, pero son posibles otras formulaciones). Esta definición es claramente mucho más estricta -los ejemplos dados anteriormente en la definición 1 no cuentan bajo esta definición- y más La mayoría de las veces, cuando los físicos hablan de "libertad gauge", esta es la definición a la que se refieren. En este caso, en lugar de tener sólo unos pocos grados de libertad redundantes/no físicos (como la constante global para su energía potencial), se tiene un número continuamente infinito. (Para hacer las cosas aún más confusas, algunas personas utilizan la frase "simetría gauge global" en el sentido de la definición 1 para describir cosas como la libertad de fase global de un estado cuántico, lo que sería claramente una contradicción en los términos en el sentido de la definición 2).

  Resulta que para tratar esto en la teoría cuántica de campos, hay que cambiar sustancialmente el enfoque de la cuantización (técnicamente, hay que "fijar la integral de trayectoria") para eliminar todos los grados de libertad no físicos. Cuando la gente habla de cantidades "invariantes gauge" bajo esta definición, en la práctica suelen referirse a las derivadas directamente medibles físicamente, como el tensor electromagnético $F_{\mu \nu}$ que permanecen sin cambios ("invariantes") bajo cualquier transformación gauge. Pero, técnicamente, también hay otras magnitudes invariantes gauge, por ejemplo, una superposición cuántica uniforme de $A_\mu(x) + \partial_\mu \lambda(x)$ sobre todos los posibles $\lambda(x)$ para algún tipo de $A_\mu(x).$

  Ver Entrada del blog de Terry Tao para una gran explicación de este segundo sentido de la simetría gauge desde una perspectiva más matemática.

• Definición 3: A veces se dice que un lagrangiano posee una "simetría gauge" si existe alguna operación que depende de una función continua arbitraria en el espaciotiempo que lo deja invariante, incluso si se cambian los grados de libertad son físicamente medible.

• Definición 4: Para una "teoría gauge de celosía" definida en Hamiltonianos de celosía locales, existe un operador soportado en cada sitio de celosía que conmuta con el Hamiltoniano. En algunos casos, este operador corresponde a una cantidad físicamente medible.

Los casos de las definiciones 3 y 4 son un poco sutiles desde el punto de vista conceptual, por lo que no los trataré aquí; puedo abordarlos en una pregunta posterior si alguien está interesado.

Actualización: He escrito respuestas de seguimiento sobre si hay algún sentido en el que los grados de libertad gauge puedan ser físicamente medibles en el caso hamiltoniano y el caso lagrangiano .

Answer 2

Sólo entendí esto después de tomar una clase de relatividad general (RG), geometría diferencial y teoría cuántica de campos (QFT). La esencia es sólo un cambio de sistemas de coordenadas que debe reflejarse en la derivada. Voy a explicar lo que quiero decir.

Tienes una teoría que es invariante bajo algún grupo de simetría. Así que en la electrodinámica cuántica tienes una densidad lagrangiana para los fermiones (todavía no hay fotones) $$ \mathcal L = \bar\psi(x) [\mathrm i \gamma^\mu \partial_\mu - m] \psi(x) \,.$$ Este $\bar\psi $ es sólo $\psi^\dagger \gamma^0$ Lo importante es que es un complejo conjugado. El hecho de que sea un cuatro vector en el espacio de espín no tiene importancia aquí. Lo que se puede hacer ahora es transformar $\psi \to \exp(\mathrm i \alpha) \psi$ con algunos $\alpha \in \mathbb R$ . Entonces $\bar\psi \to \bar\psi \exp(-\mathrm i \alpha)$ y la lagrangiana será invariante ya que la derivada no actúa sobre la función exponencial, es sólo un factor de fase. Ahí tienes una simetría global.

Ahora promueve la simetría a una local, ¿por qué no? En lugar de una global $\alpha$ uno ahora tiene $\alpha(x)$ . Esto significa que elegimos un $\alpha$ en cada punto del espaciotiempo. El problema es que cuando transformamos ahora, se recoge el $\partial_\mu \alpha(x)$ con las reglas de diferenciación de la cadena y del producto. Al principio parece una complicación técnica.

Hay una forma más reveladora de ver esto:
Se toma un derivado de un campo $\psi(x)$ . Esto significa tomar un cociente de diferencia como $$ \partial_\mu \psi(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\psi(x + \epsilon \vec e_\mu) - \psi(x)}{\epsilon} \,.$$ Esto funciona bien con una transformación global. Pero con la transformación local, básicamente se restan dos valores que son calibrado de manera diferente. En la geometría diferencial se tiene que los espacios tangentes en los diferentes puntos de la variedad son diferentes y, por lo tanto, uno no puede simplemente comparar vectores por sus componentes. Se necesita una conexión con coeficientes de conexión para proporcionar transporte paralelo . Aquí ocurre algo parecido. Ahora hemos promovido $\phi$ de vivir en $\mathbb R^4$ a vivir en el bulto $\mathbb R^4 \times S^1$ ya que tenemos un grupo gauge U(1). Por lo tanto, necesitamos algún tipo de conexión para transportar la transformada $\phi$ de $x + \epsilon \vec e_\mu$ a $x$ . Aquí es donde hay que introducir alguna conexión que sea $$ \partial_\mu \to \mathrm D_\mu := \partial_\mu + \mathrm i A_\mu \,.$$

Si introduces eso en la densidad de Lagrange para que sea $$ \mathcal L = \bar\psi(x) [\mathrm i \gamma^\mu \mathrm D_\mu - m] \psi(x)$$ y luego elegir $A_\mu = \partial_\mu \alpha$ verás que la densidad lagrangiana permanece invariante incluso bajo transformaciones locales, ya que el coeficiente de conexión sólo restará el término no deseado de la regla del producto/cadena.

En la relatividad general tienes la simetría bajo difeomorfismo arbitrario, el precio es que tienes que cambiar la derivada por una conexión, $$ \partial \to \nabla := \partial + \Gamma + \cdots \,.$$

Answer 3

Dado que has mencionado que vienes de una formación matemática, puede que te resulte agradable tomar una respuesta en términos de clases de equivalencia.

Una teoría gauge es una teoría física en la que las cantidades observables, es decir, las cosas que se podrían medir con un experimento dado un equipo de medición perfecto, son clases de equivalencia en un espacio vectorial.

El electromagnitismo es el ejemplo más común. Las teorías físicas modernas se escriben siempre como haces de fibras en los que la variedad subyacente es el espaciotiempo y las fibras son un espacio tangente asociado a cada punto (llamado evento) en el espaciotiempo. La E&M en el espacio libre (sin cargas presentes) se describe asociando un objeto de 4 componentes llamado $A_{\mu}$ a cada punto del espaciotiempo, $x$ y requiriendo $A_{\mu}(x)$ para satisfacer las ecuaciones de Maxwell.

Sin embargo, las magnitudes observables, igualmente medibles, en la naturaleza son los campos eléctricos y magnéticos, $\vec{E}(x)$ y $\vec{B}(x)$ . Estos se derivan de $A_{\mu}(x)$ utilizando la definición dada en este wiki (mira los elementos de la matriz de $F_{\mu \nu}(x)$ ).

Resulta que la transformación $A_{\mu}(x) \rightarrow A_{\mu}(x) + \partial_{\mu}f(x)$ para cualquier función dos veces diferenciable $f(x)$ da los mismos valores de los campos observables $\vec{E}(x)$ y $\vec{B}(x)$ . Por tanto, existe una relación de equivalencia

$A_{\mu}(x) \approx A_{\mu}(x) + \partial_{\mu} f(x)$ .

Y en general, las teorías gauge son teorías en las que las cantidades observables son funciones sobre clases de equivalencia de algunos vectores en un espacio vectorial. En este caso nuestros vectores eran $A_{\mu}(x)$ (estos son vectores en el espacio de funciones dos veces diferenciables en el espaciotiempo), y nuestra relación de equivalencia fue dada anteriormente.

En cuanto a tu pregunta final sobre si cosas como que la energía total del sistema esté determinada sólo hasta un factor constante en cualquier marco de referencia hace que la dinámica newtoniana sea una teoría gauge. La respuesta es no, realmente no. Básicamente, si no estás hablando de una teoría de campos, un físico no llamará a la cosa una teoría gauge.

Answer 4

La invariancia gauge es simplemente una redundancia en la descripción de un sistema físico. Es decir, podemos elegir entre un número infinito de potenciales vectoriales en E&M.

Por ejemplo, un número infinito de potenciales vectoriales puede describir el electromagnetismo mediante la siguiente transformación

$$A(x) \to A_\mu(x) + \partial_\mu \alpha(x)$$

La elección de un calibre específico (fijación del calibre) puede facilitar la resolución de un problema físico mucho más de lo que sería si no se fijara un calibre.

Normalmente se elige el calibre de Coulomb: $\nabla \cdot A = 0$ .

Hay que destacar que la invariancia gauge NO es una simetría de la naturaleza y no se puede medir nada asociado a ella.

La invariancia gauge es muy útil en la teoría cuántica de campos y es crucial para demostrar la renormalizabilidad. Además, los elementos de la matriz S en QFT requieren un Lagrangiano local y, por tanto, invariancia gauge.

Como ejemplo de por qué introducir el vector potetial $A^\mu$ considerar el efecto Aharonov-Bohm que surge debido a las propiedades topológicas globales del potencial vectorial. Todavía hay otras razones por las que la invariancia gauge facilita la vida, reduciendo los grados de libertad del fotón en la llamada covariante o $R_\xi$ calibre, causalidad, etc. Esencialmente, la utilidad de la invariancia gauge no se hace del todo evidente hasta que se empieza a trabajar con la teoría cuántica de campos :D

Answer 5

Estos cálculos dependen muy a menudo sólo de la diferencia entre dos valores, no de los valores concretos en sí. Por lo tanto, usted es libre de elegir un cero a su gusto. ¿Es éste un ejemplo de invariancia gauge en el mismo sentido que los ejemplos de graduación anteriores?

Sí, lo es, en la definición más general de invariancia gauge, es lo que los físicos llaman un invariancia gauge global . Más adelante se habla de ello.

Si tuviera que escribir una respuesta de una sola frase a su título, sería ésta:

La invariancia gauge es la buena definición de la ley física bajo un mapa quotent que condensa una configuración/ espacio de parámetros/ coordenadas para un sistema físico en un conjunto de clases de equivalencia de configuraciones físicamente equivalentes.

Esto es en el mismo sentido en el que, por ejemplo, el producto del coset está bien definido bajo el mapa que cotiza fuera del subgrupo normal de un grupo. La física de una configuración es independientemente de la elección del miembro de la clase de equivalencia .

En sus términos más básicos, la invariancia gauge es simplemente una afirmación de que hay redundancia en una descripción matemática de un sistema físico. En otras palabras, el sistema tiene un simetría una invarianza con respecto a un grupo de transformaciones.

A simetría gauge global es uno en el que el espacio de configuración es un producto cartesiano simple ( es decir un haz de fibras trivial) del conjunto de clases de equivalencia físicamente distintas y un parámetro redundante, como en tu ejemplo de diferencia entre dos valores. Si la descripción física es una descripción lagrangiana, entonces es aquí donde el teorema de Noether pasa a primer plano e identifica las cantidades conservadas, una por cada parámetro redundante. El grupo gauge, es decir grupo de simetrías, afecta a todas las clases de equivalencia (fibras) por igual. La sustracción de un potencial constante de un potencial electrostático es una simetría de este tipo, y un gran avance para la civilización córvida, ya que permite a los cuervos sentarse en líneas eléctricas de alta tensión y disparar alegremente la brisa juntos, discutiendo sus últimos pensamientos sobre las teorías gauge, y declarando que "¡Nunca más!" temeremos que la adición global de 22kV al potencial electrostático pueda cambiar la física del sistema al que pertenecemos.

Sin embargo, cuando los físicos hablan de una teoría gauge, suelen referirse a una en la que el grupo de simetría puede actuar de forma más general, con un miembro del grupo diferente actuando en cada punto del espacio de configuración. El haz de fibras correspondiente ya no es trivial. Aunque querías un ejemplo más sencillo que la electrodinámica, no creo que haya ninguno. La fase añadida a la función de onda del electrón puede ser cualquier función suave de coordenadas, y los términos extra que surgen de la regla de Leibniz aplicada a las derivadas en la ecuación de movimiento de la función de onda (Dirac, Schrödinger) se absorben exactamente en la parte cerrada de la forma única del potencial EM. Por cierto, como apunte, siempre me gusta visualizar el potencial EM en el espacio de Fourier, lo que podemos hacer con restricciones razonables ( Por ejemplo un postulado que sólo vamos a pensar en distribuciones templadas, por ejemplo), porque la parte espacial de la parte redundante del cuatro-potencial es entonces su componente a lo largo del vector de onda ( es decir considerado como un vector 3), y sólo la componente normal al vector de onda importa físicamente: es la única parte que sobrevive $A\mapsto \mathrm{d} A = F$ .

Hay dos cosas que creo que debes tomar del ejemplo de EM:

1. Aunque en la práctica conduce a una mayor complejidad, conceptualmente, es sólo un pequeño salto desde su simple ejemplo global de simetría gauge; simplemente permitimos que las simetrías actúen localmente en lugar de actuar en todos los puntos del espacio de configuración por igual;

2. Tomando la iniciativa del experimentalmente real electromagnetismo, postulamos que esta invariancia gauge podría ser relevante de forma más general, y por ello buscamos su presencia en otros fenómenos físicos. Esto no es más que una acción motivada por una corazonada. Experimentalmente En la actualidad, nos damos cuenta de que esto es algo fructífero. En física, no hay una visión más profunda que los resultados experimentales.

Por último, debo mencionar que las nociones de gauge / fiber bundle también son útiles cuando artificialmente declarar clases de equivalencia de configuraciones basadas en las necesidades de nuestro problema, incluso si hay una diferencia física entre los miembros de la clase de equivalencia. Uno de los ejemplos más bellos de esta forma de pensar es el de Montgomery "Teoría gauge del gato que cae" . Estudiamos las clases de equivalencia de la configuración de los gatos que son equivalentes modulo la isometría euclidiana adecuada para formular una espacio con forma de gato que, en el tratamiento estándar en el que se piensa en el gato como un robot de dos secciones con rótula sin torsión, resulta ser el plano proyectivo real $\mathbb{RP}^2$ . Todo el espacio de configuración es entonces un haz de fibras con el espacio de forma $\mathbb{RP}^2$ como base y el grupo $SO(3)$ definiendo las orientaciones como fibra. El gato puede voltear conservando el momento angular mediante deformaciones cíclicas de su propia forma debido a la curvatura de la conexión que surge de la noción de transporte paralelo que implica la conservación del momento angular.