Cómo demostrar $\frac{\ln x}{\sqrt x}$ disminuye.

Question

Necesito probar esto antes de poder utilizar la Prueba Integral para determinar si la serie es convergente o divergente. Mi serie es de [1,infinito). Traté de enchufar en número y la función parece aumentar, así que traté de la derivada y ahora estoy atascado.

Gracias a todos. Ya lo tengo. El problema original era determinar si la serie converge o diverge y por qué. La serie era de n=1 a infinito: (ln n)/(sqrt n)

Answer 1

La derivada es igual a $$\frac{\frac{\sqrt{x}}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\log x}{x}=\frac{1- \frac{1}{2}\log x}{x\sqrt{x}}.$$ Por lo tanto, basta con demostrar que si $1-\frac{1}{2}\log x\leq 0$ entonces la función es decreciente.

Equivalentemente, $\log x\geq 2$ . Así, para $x\geq e^2$ la función es decreciente, en $[e^2,\infty)$ .