¿Expansiones de Fourier del campo de Klein-Gordon no invariantes de Lorentz?

Question

Estoy trabajando en el libro de Peskin y Schroeder sobre QFT y me he dado cuenta de que expanden una solución a la ecuación de Klein Gordon de una manera que me parece que no es invariante de Lorentz aunque las soluciones a la KGE deberían ser escalares.

El Hamiltoniano, siendo una función de $\phi$ y $\pi$ también se convierte en operador. Nuestra siguiente tarea es encontrar el espectro a partir del Hamiltoniano. Como no hay una forma obvia de hacerlo, busquemos orientación escribiendo la ecuación de Klein-Gordan en el espacio de Fourier. Si expandimos el campo clásico de la ecuación de Klein-Gordan como $$\phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \phi(\mathbf{p},t)$$ (con $\phi^*(\mathbf{p}) = \phi(-\mathbf{p})$ para que $\phi(\mathbf{x})$ es real) ...

¿Estoy en lo cierto al afirmar que esta combinación no es invariante de Lorentz? ¿O hay alguna razón por la que esto no importe en este momento?

Answer 1

Un poco más adelante abordan el problema aparente de las integrales sobre el 3-momento, que a primera vista no parece invariante de Lorentz.

[De hecho, la integral $$\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2E_{\mathbf{p}}} = \left. \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} (2\pi) \delta(p^2 - m^2) \right|_{p^0>0}$$ es una integral de 3 momentos invariante de Lorentz, en el sentido de que si $f(p)$ es invariante de Lorentz, también lo es $\int d^3p\ f(p) / (2E_{\mathbf{p}})$ .

Más allá se discute qué significa la parte derecha con el $p^0>0$ restricción.