¿Cómo puedo demostrar $AX=BX$ para cada $n\times1$ matriz de columnas $X \implies A=B$

Question

Sea $A$ y $B$ sean matrices $n\times n$ .

Supongamos que $AX=BX$ para cada $n\times 1$ matriz de columnas $X$ .

¿Cómo puedo demostrar que esto implica $A=B$ ?

Answer 1

Sea $e_i$ denotan el $i^{th}$ vector de base estándar. Entonces para todo $1\leq i \leq n$ ,

$$Ae_i = Be_i.$$

Pero $Ae_i$ y $Be_i$ son sólo los $i^{th}$ columnas de $A$ y $B$ respectivamente.

Answer 2

Consideremos los vectores columna $e_i$ que son todos $0$ s excepto el $i$ ª componente. Entonces $Ae_i$ es el $i$ columna de $A$ que es el mismo que el $i$ columna de $B$ , $Be_i$ . Así, todas las columnas de $A$ son iguales a las columnas correspondientes de $B$ .