¿Se pueden clasificar las ecuaciones diferenciales parciales según las propiedades de causalidad de sus soluciones (y en caso afirmativo, cómo)?

Question

Hace poco, me topé con este interesante comentario por Valter Moretti lo que me hizo plantearme la siguiente pregunta, más general (cuya respuesta sospecho que es afirmativa):

¿Podemos saber fácilmente, sólo a partir de los operadores que aparecen en una ecuación diferencial, si las soluciones de esta ecuación diferencial resultarán violar la causalidad?

Esta pregunta va más o menos en la misma dirección, aunque se limita a la ecuación del calor. En los comentarios a la respuesta de joshphysics a esa pregunta, también se menciona la noción de hiperbolicidad de una ecuación diferencial parcial. He oído cosas como hiperbolicidad, elipticidad, etc. antes en el contexto de la causalidad, y la página de Wikipedia sobre EDP hiperbólicas menciona algo en esta línea también:

Si se produce una perturbación en los datos iniciales de una ecuación diferencial hiperbólica, no todos los puntos del espacio sienten la perturbación a la vez. En relación con una coordenada temporal fija, las perturbaciones tienen una velocidad de propagación finita.

Así que quizá la pregunta pueda replantearse de la siguiente manera:

¿Podemos clasificar (una clase razonablemente amplia de) EDP en función de las propiedades de causalidad de sus soluciones? ¿Esta clasificación implica "hiperbolicidad" y nociones relacionadas, y por qué (quizás hay una imagen intuitiva, o física, asociada a ellas)? En caso afirmativo, ¿hay una manera fácil de ver si una EDP dada pertenece a una de esas categorías?

Answer 1

Ya lo tienes, supongo. La hiperbolicidad es la propiedad que buscas.

El artículo de la wikipedia es muy bueno: https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_partial_differential_equation

Como Void dijo en una respuesta corta debajo de su pregunta, para PDEs lineales es trivialmente categorizado, ya que cada perturbación viaja a lo largo de las características. Así que si usted puede escribir su PDE en forma de primer estado oder, encontrar los valores propios de la matriz de Jacobeo A a ser real, entonces existen características. Creo que no tiene sentido escribir las ecuaciones aquí de nuevo, ya que wikipedia lo tiene con mucha precisión. También pediste una imagen intuitiva: Los frentes de onda se propagan a lo largo de estas características con velocidad finita. Una cobertura suave del plano x,t con características es posible y cada perturbación es llevada a lo largo de estas características. Por lo tanto, dos puntos sólo son causales si están dentro de conos de características. Además, la solución se puede escribir utilizando sólo las EDO en las características (véase el método de las características). Como ya se ha dicho, esto se complica si se trata de EDE no lineales. Entonces las características ya no se pueden utilizar en el sentido anterior. Pero estas preguntando por causalidad y si las perturbaciones pueden capturar todo el espacio en tiempo finito, lo cual no es causal. En los sistemas no lineales incluso la velocidad de onda más rápida no es fija, sino que depende de algo, por ejemplo de la amplitud. Por lo tanto, si la amplitud es limitada, la velocidad de la onda más rápida también lo es.

Answer 2

En primer lugar, me gustaría decir que la pregunta que se plantea aquí es muy profunda y que hay que tener mucho cuidado al intentar responderla. En este sentido, debemos definir cuidadosamente el significado de los términos que utilizamos. En este ámbito abundan los errores de categoría. Así que, en primer lugar, dejemos claro que el término "causalidad" se refiere a propiedades de físico procesos que tienen lugar en el espacio y (sobre todo) en el tiempo. En cambio, las soluciones de las ecuaciones matemáticas son no procesos físicos, así que tenemos que asegurarnos de que tenemos claro lo que queremos decir con "propiedades de causalidad" de las soluciones a (ecuaciones diferenciales). Puede parecer que me estoy extendiendo innecesariamente, pero he aquí algunos ejemplos:

Ejemplo I: Movimiento de proyectiles:

Supongamos que consideramos el movimiento de un proyectil, que podríamos describir mediante un cierto operador diferencial ordinario. Siguiendo mi comentario anterior, ahora es importante señalar que vamos a resolver un problema de valor inicial/límite, no un operador. Como analogía del álgebra lineal, esto último sería como decir "estamos resolviendo una matriz de coeficientes" en lugar de "estamos resolviendo un sistema lineal de ecuaciones". Obviamente, lo primero no tiene sentido. Volviendo al movimiento de nuestro proyectil, una forma estándar de plantear un problema de este tipo sería proporcionar valores iniciales para la posición y la velocidad iniciales del proyectil y, a continuación, resolver la EDO de segundo orden. Hacerlo así parece corresponder estrechamente a un proceso causal, en el que el avance del proyectil es causalmente determinado a partir de su estado anterior.

Sin embargo, obsérvese que podríamos plantear un problema matemáticamente distinto, proporcionando las posiciones del proyectil en dos momentos del tiempo. Matemáticamente estaríamos entonces resolviendo un problema de valor límite, y la trayectoria del proyectil se seguiría de un proceso que no parece "causal" en absoluto en el sentido anterior, en el sentido de que sus detalles dependen de los datos límite en dos puntos finales. Sí, se podría argumentar que esta forma de plantear el problema es algo "artificial", pero la cuestión es que estaríamos tratando exactamente con el mismo operador diferencial, y podríamos obtener exactamente la misma solución.

Ejemplo II: Movimiento planetario:

Mi siguiente ejemplo procede de la segunda conferencia Messenger que Feyman pronunció en la Universidad de Cornell en 1964, sobre " La relación de las matemáticas con la física ". En la conferencia, Feynman aborda el problema del movimiento planetario. Utilizando la mecánica newtoniana, nos encontramos con un problema de valor inicial para definir la trayectoria del planeta. Podríamos volver a ver el movimiento del planeta como un proceso en el que las fuerzas gravitatorias hacen que el planeta se mueva

Y, por supuesto, podríamos pasar al modelo físico más avanzado de la relatividad general, en cuyo caso la causalidad podría desaparecer de nuevo cuando hablamos de que el planeta simplemente sigue geodésicas en un espacio-tiempo curvado.

Ecuaciones diferenciales parciales:

Hablemos ahora de las ecuaciones diferenciales parciales. Al igual que para las EDO, y en realidad mucho más, es posible formular problemas equivalentes de formas muy diferentes. Podría resolver un problema descrito por un operador elíptico (que típicamente se consideraría un "operador a-causal", creo) proporcionando condiciones de contorno que se parezcan a las de un operador hiperbólico, y mi proceso de solución podría parecerse a un "proceso causal". También vale la pena señalar que tipos mucho más complejos de condiciones de contorno pueden aparecer y aparecen, por ejemplo, en ciertas formulaciones de las ecuaciones fundamentales del flujo de fluidos (por ejemplo, una formulación de transporte de vorticidad de las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo incompresible requiere naturalmente condiciones de contorno en una forma integral).

En resumen, diría que dudo mucho que sea posible clasificar los operadores diferenciales como "causales" o "con soluciones causales". Basándome en lo que he dicho antes, uno podría estar tentado de aumentar esta noción clasificando, digamos, problemas de valor inicial/límite (es decir, el operador más las condiciones iniciales/limítrofes) como si tuvieran "soluciones causales". Sin embargo, soy muy escéptico en cuanto a lo que tal clasificación haría, o incluso podría lograr.

Por último, he llegado a pensar que el concepto de causalidad en general puede ser problemático en principio, véase el artículo de John Norton sobre " La causalidad como ciencia popular ". De hecho, después de todos estos años, ahora estoy menos seguro de lo que nunca he estado de mi comprensión del concepto de causalidad. Quiero hacer hincapié en que ofrezco lo anterior más como material de reflexión y debate que como una respuesta formal. Tal y como conozco este foro, es posible que la gente se queje de que lo anterior no es realmente una respuesta. Y puede que tengan razón...