La cuestión es determinar si la integral siguiente converge o no: $$\int_{2}^{\infty}\frac{\sin x}{\ln x}\,dx. $$
He intentado demostrarlo mediante integración por partes, pero no he conseguido avanzar. ¿Cómo puedo abordar este problema?
Respuesta
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Gudmundur Orn
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Tenga en cuenta que $\ln x$ aumenta a $\infty$ mientras que $\sin x$ oscila. Puedes pensar que esta integral es la suma de las partes positivas y las partes negativas, en orden. Es decir, ignorando la integral finita de $2$ a $\pi$ tenemos que $$ \begin{align} \int_\pi^\infty \frac{\sin x}{\ln x} dx &= \sum_{k\geq 0} \bigg( \underbrace{\int_{\pi + 2\pi k}^{2\pi + 2\pi k} \frac{\sin x}{\ln x} dx}_{I_k^-} + \underbrace{\int_{2\pi (k+1)}^{2\pi + 2\pi(k+1)}\frac{\sin x}{\ln x} dx}_{I_k^+}\bigg). \end{align}$$ Ahora $I_k^-$ es negativo, $I_k^-$ es positiva, y se puede aplicar la prueba estándar de series alternas a la suma $$ \sum_{k \geq 0} (I_k^- + I_k^+).$$ Quedan algunos detalles por considerar, como demostrar que $I_k^\pm$ es decreciente (resultado de $\ln x \to \infty$ ), o mostrando que el comportamiento límite de la integral está bien aproximado por estos sumandos (ya que van a cero, esencialmente), pero esta es una buena aproximación.
