¿Cuál es la diferencia entre un monoide y un grupo?

Question

¿Cuál es la diferencia entre un monoide y un grupo? Estoy leyendo este libro y dice que un grupo es un monoide con invertibilidad y esta propiedad se hace para resolver la ecuación $x \ast m=e$ y $m \ast x=e$ para $x$ donde $m$ es cualquier elemento de la estructura.

Me confundí porque es similar a la propiedad de conmutatividad del monoide que dice que $m \ast n=n*m$ para todos $m, n \in M$ .

Answer 1

Tu confusión se debe a que utilizas la misma letra en ambas ecuaciones. Sería mejor decir que la invertibilidad es la propiedad de que para cada $m$ existe una solución a la ecuación $m*x = e$ y una solución a la ecuación $y*m=e$ . A continuación, puede pruebe que las soluciones serán de hecho las mismas, ya que $$y = y*e = y*(m*x) = (y*m)*x = e*x = x.$$

Además, si bien es cierto que las dos ecuaciones juntas implican que $mx=xm$ Esto no es equivalente a la conmutatividad. Para ser claros, la conmutatividad sería

Para todos $a$ y todos $b$ , $ab=ba$ .

Aquí sólo tienes

Si $x$ es la solución de $mx=e$ entonces $mx=xm$ .

Es decir, sólo se garantiza que un particular conmuta con cada elemento $m$ no es que cada conmuta con cada elemento.

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Consideremos los "axiomas" habituales de un grupo. los ingredientes son un conjunto $S$ y una función $\cdot\colon S\times S\to S$ que escribimos utilizando la notación infija (por lo que escribimos $a\cdot b$ ou $ab$ en lugar de $\cdot(a,b)$ ). Entonces requerimos:

1. Asociatividad. $\cdot$ es asociativo: $a(bc) = (ab)c$ para todos $a,b,c\in S$ .
2. Existencia de elemento neutro. Existe un elemento $e\in S$ tal que para todo $a\in S$ , $ae=ea=a$ .
3. Existencia de inversos. Para cada $a\in S$ existe $b\in S$ tal que $ab=ba=e$ donde $e$ es un elemento neutro como en 2.

Si relajamos los requisitos para que se cumplan las tres condiciones, obtenemos estructuras más generales (pero cuanto más general es la estructura, menos podemos decir sobre ellas).

• Si se eliminan las tres condiciones, se obtiene un magma .
• Si se eliminan la segunda y la tercera condición pero se mantiene la primera, exigiendo únicamente que la operación sea asociativa, se obtiene un semigrupo.
• Si se elimina la tercera condición pero se mantienen la primera y la segunda, exigiendo que la operación sea asociativa y que haya un elemento neutro, se obtiene un monoide.
• Si cumples las tres condiciones, obtienes un grupo.

Hay otras cosas que se pueden hacer; no tiene sentido suprimir la segunda condición y mantener la tercera.

Si se elimina la primera (asociatividad), se pueden relajar un poco las condiciones y pedir que todas las ecuaciones de la forma $ax=b$ y $ya=b$ tienen soluciones, pero sin exigir que la operación sea asociativa. Eso le da una cuasigrupo. Si se exige que todas esas ecuaciones tengan solución y que haya una identidad, se obtiene una bucle . Esto equivale a pedir que se cumplan las condiciones 2 y 3, pero no la 1.

Dentro de cada categoría puedes poner otras condiciones. Existen "semigrupos de cancelación", que son semigrupos en los que $ax=ay$ implica $x=y$ . Existen los "semigrupos inversos" que, quizás confusamente, hace no significa que se cumple la condición 3 (no tiene sentido si no tenemos la condición 2), sino que para cada $a$ existe un $b$ tal que $aba=a$ y $bab=b$ . Y así sucesivamente. Se ven muchas arrugas diferentes ahí dentro.

Answer 2

La diferencia es que un elemento de un monoide no tiene que tener inverso, mientras que un elemento de un grupo sí. Por ejemplo, $\mathbb N$ es un monoide bajo adición (con identidad $0$ ) pero no un grupo, ya que para cualquier $n,m\in \mathbb N$ si $n$ ou $m$ no es $0$ entonces $n+m\neq 0$ .

Answer 3

Los elementos de un monoide no necesariamente tienen elementos inversos, mientras que los de un grupo sí. Véase

http://en.wikipedia.org/wiki/Monoid

Hay 4 axiomas que definen un grupo, uno de los cuales es la presencia de elementos inversos. Los monoides sólo necesitan satisfacer los otros 3.

Answer 4

En primer lugar, no todos los monoides tienen la propiedad conmutativa. Un monoide que es conmutativo se llama monoide conmutativo.

Ahora, para responder a su pregunta. No todos los elementos de un monoide tienen el elemento inverso. Sin embargo, si un elemento $m$ en un monoide conmutativo tiene un inverso a la izquierda, es decir $x * m = e$ entonces $x$ es la inversa de $m$ porque $m * x = e$ por la propiedad conmutativa - sólo se puede obtener en un monoide conmutativo.

La diferencia entre un monoide y un grupo es lo que has dicho, un grupo es un monoide con la propiedad de invertibilidad.

Edita:

En respuesta al comentario posterior del OP - vio una frase "Un grupo es conmutativo, o abeliano, si lo es como monoide" en el libro que citó. Significa que un grupo es también un monoide y si es conmutativo cuando se ve como un monoide, entonces es un grupo conmutativo (abeliano).