Demostrar que un grupo $G$ está finitamente generado si y sólo si es un cociente de un grupo libre sobre un conjunto finito de letras

Question

Como se indica en el título, estoy trabajando en este ejercicio:

Demostrar que un grupo $G$ es finitamente generado si y sólo si es un cociente de un grupo libre sobre un conjunto finito de letras.

He mostrado $(\Rightarrow)$ como sigue:

$(\Rightarrow).$ Supongamos que $G$ está finitamente generada, y sea $S=\{a_{\alpha}\}$ sea el conjunto de todos los generadores. Consideremos entonces el grupo libre sobre el mismo conjunto de generadores, denotado por $Fr(S)$ . Entonces existe un homomorfismo $h:Fr(S)\longrightarrow G$ tal que $h(a_{\alpha})=a_{\alpha}$ para todos $\alpha$ y, por tanto $h$ es suryectiva.

Sin embargo, no sé cómo mostrar lo contrario. Supongamos que $F$ es un grupo libre sobre un conjunto finito de letras $B$ y supongamos $G\cong F/N$ para algunos $N$ entonces sé que esto nos da un isomorfismo $$\phi:F/N\longrightarrow G,$$ pero ¿qué debo hacer para obtener la información de los generadores de $G$ ?

Gracias.

Answer 1

Los generadores de $G$ son simplemente las imágenes de los generadores del grupo libre. Esto se puede ver porque el homomorfismo $F\to G$ es suryectiva; si se puede obtener cualquier elemento en el dominio, las imágenes pueden obtener cualquier elemento en el codominio. En general, un cociente de un grupo finitamente generado es finitamente generado.

Obsérvese que no tiene por qué ser un conjunto generador mínimo.