Funciones regulares en $\Bbb A^n$ .

Question

Sea $k$ sea algebraicamente cerrado y sea $\Bbb A^n_k$ ser afín $n$ -space over $k$ .

Una función regular en $U\in\mathcal{T}_{\Bbb{A}^n}$ es una función $\varphi:U\to k$ tal que para cada $p\in U$ existe

1. $U_p\in\mathcal{T}_{\Bbb A^n}$ donde $p\in U_p$ y
2. Dos polinomios $f,g\in k[x_1,\dots,x_n]$ donde para cada $q\in U_p$ , $g(p)\ne 0$ y $\varphi(q)=f(q)/g(q)$ .

Quiero demostrar que la colección de todas las funciones regulares sobre $\Bbb A^n_k$ es sólo $k[x_1,\dots,x_n]$ .

Si $\varphi$ es una función regular, entonces localmente es de la forma $f/g$ . Pero como se trata de un $g$ localmente en todas partes, no puedo argumentar simplemente que $\varphi=f/g$ y $g$ debe ser no evanescente en todas partes en $\Bbb A^n_k$ lo que implicaría $g$ es una constante distinta de cero.

¿Cómo lo hago?

Answer 1

Esto es más o menos un corolario de $k[x_1,\ldots,x_n]$ siendo factorial. Sea $k[X]$ y $k(X)$ son abreviaturas de este anillo y su campo de fracciones.

Supongamos que $\alpha$ es una función regular global, y en algún abierto no vacío $U$ , $\alpha=\frac{f_1}{g_1}$ y en otro abierto no vacío $V$ , $\alpha=\frac{f_2}{g_2}$ . A continuación $U\cap V$ que es denso ya que $\Bbb{A}^n$ es irreducible, $\frac{f_1}{g_1}=\frac{f_2}{g_2}$ como funciones regulares, lo que implica $f_1g_2-f_2g_1=0$ como polinomios por densidad de $U\cap V$ . Por lo tanto, si asumo que $\frac{f_1}{g_1}$ y $\frac{f_2}{g_2}$ están en los términos más bajos utilizando la factorialidad de $k[X]$ tenemos que $\frac{f_1}{g_1}=\frac{f_2}{g_2}$ como elementos de $k(X)$ Así que $f_1=f_2$ y $g_1=g_2$ (hasta escalares) ya que ambas fracciones están en términos mínimos. Por tanto, la representación $\alpha =\frac{f_1}{g_1}$ se extiende a cualquier otro subconjunto abierto en el que $\alpha$ puede representarse mediante una función racional. Entonces, utilizando la cuasicompacidad, el lema de Zorn o la noetherianidad, se deduce que, de hecho, la representación $\alpha=\frac{f_1}{g_1}$ se extiende a todo el $\Bbb{A}^n$ . Desde $\frac{f_1}{g_1}$ está en términos reducidos, se deduce que $V(g_1)$ está vacío, por lo que $g_1$ es una constante (WLOG 1), y por tanto $\alpha = f_1$ es una función polinómica.