¿No es solo la definición de convergencia débil?

Question

Hola me encontré con esta pregunta mientras revisaba mis apuntes.

Pero ¿no es esto solo la definición de convergencia débil? ¿Estoy fallando en entender el problema? La definición dada en mis apuntes es

Una pregunta más interesante es esta: Donde el $x^*$ está en un subconjunto denso de la bola unidad en $X^*$

Apuntes por Scott Morrison.

Gracias de antemano.

Answer 1

Tienes razón, lo que se te pide mostrar en el primer ejercicio es solo la definición de la convergencia débil.

El segundo ejercicio es de hecho más interesante. Lo que se te pide demostrar en el segundo ejercicio está equivocado. Falta una suposición de acotamiento, una secuencia acotada $(x_n)$ en $X$ converge débilmente a $x$ si y solo si $x^\ast(x_n) \to x^\ast(x)$ para todo $x^\ast$ en un subconjunto denso de la bola unitaria de $X^\ast$.

Si no encuentras un contraejemplo sin la suposición de acotamiento tú mismo:

Sea $X = c_0 \subset \ell^\infty$, el espacio de secuencias que convergen a $0$. Entonces $X^\ast$ es isométricamente isomorfo a $\ell^1$ bajo el emparejamiento $\langle c, x\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n\cdot x_n$, y para el subconjunto denso, tomamos el subconjunto $D = \left\{x\in \ell^1 : \lVert x\rVert < 1,\, \{n : x_n \neq 0\} \text{ es finito}\right\}$ de la bola unitaria de $\ell^1$. Si $e_n$ denota el $n$-ésimo vector unitario estándar en $c_0$, entonces $x_n = n\cdot e_n$ tiene la propiedad de que $x^\ast(x_n) \to 0$ para todo $x\ast \in D$, pero $(x_n)$ no está acotada, por lo tanto no converge débilmente.