A partir de su trabajo; escribamos $t(s)$ para $\alpha'(s)$ el vector unitario tangente a $\alpha$ en el parámetro $s$ . Y voy a usar mayúsculas en negrita para los tres vectores de Frenet: $$ \newcommand{\TT} {{\mathbf{T}}} \newcommand{\NN} {{\mathbf{N}}} \newcommand{\BB} {{\mathbf{B}}} \newcommand{\cv} {\cos(v)} \newcommand{\sv} {\sin(v)} \newcommand{\al} {\alpha} \newcommand{\ka} {\kappa} \newcommand{\ta} {\tau} \TT, \NN, \BB $$ y omitir el $(s)$ en general, escribir $\alpha$ en lugar de $\alpha(s)$ etc. Eso hará que todo sea más compacto. Por último, voy a poner $r = 1$ para que desaparezca de las ecuaciones; puedes reinsertarlo tú mismo una vez que entiendas el cálculo general.
Este es su punto de partida, \begin{align} x_s&=\al'(s)+r(n'(s)\cos v+b'(s)\sin v) \\ x_v &=r(-n(s)\sin v+b(s)cos v) \end{align} se convierte en \begin{align} x_s&=\al'+\cv\NN'+\sv\BB' \\ x_v &=-\sv\NN+\cv \BB \end{align} Y como $\al' = \TT$ tenemos \begin{align} x_s\times x_v&=(\TT+\cv\NN'+\sv\BB')\times (-\sv\NN+\cv \BB) \end{align} En este punto de su trabajo, $\alpha'(s) = \TT(s)$ parece haberse perdido; corregiré su trabajo continuando desde aquí: \begin{align} x_s\times x_v &=(\TT+\cv\NN'+\sv\BB')\times (-\sv\NN+\cv \BB)\\ &=\left(\TT \times (-\sv\NN+\cv \BB)\right)+\cv\left(\NN'\times (-\sv\NN+\cv \BB)\right)+\sv\left(\BB'\times (-\sv\NN+\cv \BB)\right)\\ &=\left(-\sv\BB-\cv \NN)\right)+\cv\left(\NN'\times (-\sv\NN+\cv \BB)\right)+\sv\left(\BB'\times (-\sv\NN+\cv \BB)\right), \end{align} donde he utilizado el hecho de que $\TT \times \NN = \BB$ para simplificar el primer término. Ahora simplificaré utilizando las fórmulas de Frent-Serret para escribir $\NN' = -\ka \TT + \ta \BB$ y $\BB' = -\ta \NN$ : \begin{align} x_s\times x_v &=\left(-\sv\BB-\cv \NN)\right)+\cv\left(\NN'\times (-\sv\NN+\cv \BB)\right)+\sv\left(\BB'\times (-\sv\NN+\cv \BB)\right)\\ &=\left(-\sv\BB-\cv \NN)\right)+\cv\left( (-\ka \TT + \ta \BB) \times (-\sv\NN+\cv \BB)\right)+\sv\left((-\ta \NN)\times (-\sv\NN+\cv \BB)\right) \end{align}
El primer término es casi exactamente la respuesta que queremos. Simplifiquemos los términos segundo y tercero de uno en uno: \begin{align} \text{2nd term} &=\cv\left( (-\ka \TT + \ta \BB) \times (-\sv\NN+\cv \BB)\right)\\ &=\cv\left( (-\ka \TT \times (-\sv\NN+\cv \BB)+ \ta \BB \times (-\sv\NN+\cv \BB)\right)\\ &=\cv\left( (\ka \sv\BB + \ka\cv \NN)+ \ta \sv\TT\right)\\ \end{align}
y \begin{align} \text{3rd term} &=\sv\left((-\ta \NN)\times (-\sv\NN+\cv \BB)\right)\\ &=-\ta\sv\cv \TT\\ \end{align}
El tercer término anula exactamente el último bit del segundo término, por lo que
\begin{align} x_s\times x_v &=\left(-\sv\BB-\cv \NN)\right)+\cv( (\ka \sv\BB + \ka\cv \NN))+ \ta \sv\TT) -\ta\sv\cv \TT \\ &=(-\sv\BB-\cv \NN))+\cv( \ka \sv\BB + \ka\cv \NN) \\ &=(-\sv\BB-\cv \NN))+\ka\cv( \sv\BB + \cv \NN) \\ &=(1-\ka) (-\sv\BB-\cv \NN)) \end{align} Este vector final es simplemente $(1-\ka)$ veces un vector unitario, por lo que normalizada, obtenemos que la normal de la superficie es \begin{align} -\sv\BB-\cv \NN. \end{align} Al rehacer este cálculo incluyendo $r$ ese factor final será $(1 - r\ka)$ Creo que demuestra que si $r$ es menor que el radio de curvatura, todo funciona bien. Si no, entonces hay un cambio de signo ... pero en ese caso ( $r$ mayor que el radio de curvatura), la superficie desplazada es singular, por lo que ya no estamos en el caso de "superficie regular".
