Energía de un oscilador no lineal

Question

Me preguntaba cuál es la energía mecánica total de este oscilador no lineal.

$$y''+k(y,y')y'+g(y)=u,$$ con $|u| \le 1 $ donde el coeficiente de amortiguación es $k$ y la fuerza restauradora es $g$ .

Creo que la energía cinética es $\frac1{2m} (y')^2$ Tal vez, pero ¿cuál es la energía potencial?

Answer 1

Para este oscilador normalizado, la energía potencial es una antiderivada $$ T = \int^y_0 g(\eta) \,\text{d}\eta $$ de $g$ tal que $T = \frac12 \gamma y^2$ es cuadrática si la fuerza restauradora $g(y) = \gamma y$ es lineal. La energía cinética se lee $K = \tfrac12y^{\prime2}$ . Si diferenciamos la energía mecánica total $H = K+T$ con respecto al tiempo, encontramos $$ H^\prime = y^\prime \left(y^{\prime\prime} + g(y) \right) = y^\prime \left(u-k(y,y^\prime)\, y^\prime\right) , $$ que muestra que $H$ es decreciente en el tiempo si $k>0$ y $u=0$ (oscilador libre, no forzado).