Si genera puntos en $\mathbb R^n$ a través de un proceso que respete una distribución normal gaussiana, y luego calcular la homología persistente / códigos de barras, a mi modo de ver parece ocurrir algo bastante regular, con los códigos de barras tendiendo hacia algo parecido a una forma de "ala", gorda en las dimensiones inferiores, adelgazándose hacia la dimensión $n$ .
¿Alguien ha demostrado algún teorema que describa la "forma" asintótica de los códigos de barras?
Lo ideal sería disponer de una prueba para poder ver algunos códigos de barras y decir "eso es típico de una distribución normal gaussiana".
Lo más parecido que he podido encontrar son experimentos y resultados sobre la característica de Euler esperada de la homología persistente, en las dos referencias siguientes (enlaces arXiv): Homología persistente para campos aleatorios y complejos , Integración de Euler de campos aleatorios gaussianos y homología persistente .
Edita:
He hecho un cálculo muy aproximado para intentar adivinar cómo debería ser la distribución de los códigos de barras. Así que hice una estimación muy aproximada basada en una distribución de puntos que es aproximadamente "localmente cúbica" y que respeta aproximadamente una distribución normal.
La densidad viene dada por:
$$\mu = N e^{-r^2}$$
donde $r$ es la distancia desde el origen. Entonces, si $\epsilon$ es el parámetro de la homología persistente, resulta que $H_0$ tiene un rango aproximado de
$$N \int_{\sqrt{\ln(N\epsilon^{1/n})}}^\infty r^{n-1}e^{-r^2} dr$$
et $H_k$ para $k \in \{1,2,\cdots,n-1\}$ tiene un rango aproximado de
$$ {n \choose k+1}\frac{(\sqrt{\ln(N\epsilon^{1/n}/\sqrt{k}))}^{n-2}}{4\sqrt{k}\epsilon^{1/n}} $$
Se trata de estimaciones bastante aproximadas y en ningún caso rigurosas. Pero si algo así es realmente cierto parece estar diciendo que para $N$ grande y $n \geq 3$ El $H_0$ tiende a cierta asíntota (que depende de $\epsilon$ ), y $H_1, \cdots, H_{n-1}$ no son triviales pero sí pequeñas. Así que la mayoría de los puntos de la distribución se encuentran en un "agujero negro" de homología gigante en el centro y la homología persitente ve la fina corteza alrededor del exterior.
Me gustaría saber si la gente ha hecho otras estimaciones similares (o mejores) y si han obtenido resultados parecidos.
