¿Se puede escribir cada curva como $f(x)=g(y)$ ?

Question

¿Admite toda curva irreducible una ecuación de la forma $f(x)=g(y)$ donde $f$ y $g$ son polinomios? ¿Y si permitimos $f$ y $g$ sean funciones racionales?

En realidad, me gustaría entender esto en presencia de una restricción adicional: si se nos da una cubierta finita de curvas $\pi\colon C\to\mathbb{P}^1$ ¿esperamos que haya una tapadera $\phi\colon C\to\mathbb{P}^1$ y funciones racionales $f(x)$ y $g(x)$ tal que $C$ es isomorfo a $f(x)=g(y)$ y también $f\circ\phi=g\circ\pi$ ? En otras palabras, no sólo $C$ isomorfo de $f(x)=g(y)$ pero este isomorfismo puede elegirse de forma que $\pi$ es la proyección sobre $y$ coordinar.

Esto recuerda al artículo de Chad Schoen "Varieties dominated by product varieties", pero no veo una conexión precisa entre ambos.

Answer 1

Esto contradiría el teorema de Harris-Mumford(-Eisenbud) según el cual $M_g$ no está anulado para $g$ como mínimo $23$ . Sea $C$ sea una curva general de género $g$ . Si $C$ está en "forma Zieve", entonces es la normalización de la curva (casi seguro) singular en $\mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1$ , $$D = \{ ([x_0,x_1],[y_0,y_1]) \in \mathbb{CP}^1\times \mathbb{CP}^1 \vert y_0^e f(x_0,x_1) - x_0^dg(y_0,y_1) \}, $$ donde $f(x_0,x_1)$ respectivamente $g(y_0,y_1)$ es un polinomio homogéneo de grado $d$ resp. $e$ tal que $f(0,1)$ y $g(0,1)$ son distintos de cero (o bien los factores del polinomio de definición a una forma más simple). Por cálculo directo, los puntos singulares se dan donde $[x_0,x_1]$ es una raíz múltiple de $f(x_0,x_1)$ y $[y_0,y_1]$ es una raíz múltiple de $g(y_0,y_1)$ o el punto es $([0,1],[0,1])$ . Además, en cada punto, el tipo analítico local de la singularidad es el mismo que el de la curva plana con ecuación $y^n-x^m$ donde $m$ resp. $n$ es el orden de fuga de $f(x_0,x_1)$ resp. $g(y_0,y_1)$ en ese momento. En particular, el "invariante delta" sólo depende de $(m,n)$ . Así, si se "deforma" $f(x_0,x_1)$ y $g(y_0,y_1)$ de modo que el número y el tipo de raíces múltiples permanezcan constantes, entonces las normalizaciones de las curvas correspondientes en $\mathbb{CP}^1\times \mathbb{CP}^1$ restos de género $g$ . Sin embargo, la familia de tales deformaciones de $(f,g)$ es una variedad racional. Precisamente, si se escribe $$ f(x_0,x_1) = (x_1-a_1x_0)^{m_1}(x_1-a_2x_0)^{m_2}\cdots (x_1-a_rx_0)^{m_r}, $$ con $(a_1,\dots,a_r)$ distintos por pares, entonces el espacio de deformación para $f$ no es más que un subconjunto abierto Zariski del espacio afín con coordenadas $(a_1,\dots,a_r)$ y lo mismo para $g(x_0,x_1)$ . Desde $M_g$ no está unirregulada, esto es una contradicción: sólo existe el morfismo constante de una variedad racional a $M_g$ cuya imagen contiene el punto general que parametriza $C$ .

Edita. Mike también se pregunta si esto podría ser cierto si $f$ y $g$ son funciones racionales y no polinómicas. Esto equivale a sustituir la ecuación definitoria anterior en $\mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1$ mediante la ecuación más general $$ g_0(y_0,y_1)f_1(x_0,x_1) - f_0(x_0,x_1)g_1(y_0,y_1), $$ donde $f_0$ , $f_1$ son homogéneas de grado $d$ sin factor común, y donde $g_0$ , $g_1$ son homogéneas de grado $d$ sin factor común. Se aplican las mismas observaciones: el número y los tipos de singularidades dependen únicamente del número y de las multiplicidades de las raíces de $f_0$ , $f_1$ , $g_0$ y $g_1$ . Variando esas raíces (distintas, probablemente repetidas) como en el párrafo anterior, se obtiene un morfismo de una variedad racional cuasi proyectiva a $M_g$ . Por Harris-Mumford(-Eisenbud), el único morfismo de este tipo es constante si la imagen contiene un punto general de $M_g$ .

Answer 2

Creo que la respuesta es no.

He aquí un problema algo relacionado. Cada curva $C$ de género >0, tiene funciones meromorfas $x,y$ en él que son no relacionadas por ninguna ecuación de la forma $f(x)=g(y)$ . Denoto por $(x)=(x)^+-(x)^-$ el divisor principal de un elemento $x$ , ceros menos polos. Si $x$ y $y$ son dos elemetos del campo de funciones meromorfas sobre $C$ relacionado por $f(x)=g(y)$ , donde $f,g$ son funciones ratonales, entonces los divisores de polos de $x$ y $y$ están relacionados de la siguiente manera: $$m(x)^-\sim n(y)^-,$$ donde $\sim$ significa la equivalencia habitual de divisores. (Dos divisores $d$ y $e$ son equivalentes si $d=e+(z)$ ). Y $m,n$ son grados de $f,g$ .

Ahora el factor del conjunto de todos los divisores sobre esta ecuación equivalente es un toro de dimensión $g$ ( $g$ es el género de $C$ ). Sólo necesitamos el hecho de que es incontable para $g>0$ . Así que siempre podemos encontrar divisores inconmensurables de la forma $(x)^-$ y $(y)^-$ . Estos $x$ y $y$ están relacionados por alguna relación polinómica $F(x,y)=0$ pero no pueden relacionarse por una ecuación de la forma $f(x)=g(y)$ .

Esta solución me la explicó Drinfeld en 1980 cuando le pregunté más general: ¿Puede toda relación algebraica $F(x,y)=0$ obtenerse de una cadena $x=x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n=y$ donde $x_i$ y $x_{i+1}$ están relacionados por $f_i(x_i)=f_{i+1}(x_{i+1})$ con algunas funciones racionales $f_i$ mediante la eliminación de $x_2,...x_{n-1}$ ? La respuesta es no, por la misma razón).