¿Cuándo debe tratarse de conjuntos en lugar de clases propiamente dichas, o viceversa, fuera de las matemáticas fundamentales?

Question

De vez en cuando importa que alguna entidad matemática que podría a priori sólo ser una clase es de hecho un conjunto. Para mayor claridad, he aquí algunos ejemplos de lo que hago pas media:

A) Algunos colegas míos hicieron una vez el siguiente descargo de responsabilidad: "El "conjunto" de curvas estables no existe, pero dejamos esta dificultad de teoría de conjuntos al lector". Estos colegas (nombres ocultos para proteger a los inocentes) son, por supuesto, plenamente conscientes del hecho de que, estrictamente hablando, la clase de todas las curvas estables, o espacios topológicos, o grupos, o cualquiera de los otros sospechosos habituales habitualmente formalizados en términos de conjuntos estructurados, no puede ser en sí misma un conjunto. Si bien reconocen que la estructura que estudian es transportable a lo largo de biyecciones arbitrarias entre miembros de una clase propia de conjuntos equinuméricos, también reconocen que en su entorno esta misma transportabilidad podría justificar una técnica suficiente a priori restricción a algún conjunto subyacente fijo pero arbitrario: es decir, la categoría grande relevante tiene una subcategoría esquelética pequeña. (Ejercicio: ¿qué es lo que hace que esto funcione en el ejemplo dado?) En tales casos, el pecadillo del conjunto frente a la clase es un pecadillo esencialmente sin víctimas, quizá excluyendo las discusiones sobre la admisibilidad de la Elección, especialmente la Elección Global.

B) Hay varios contextos en los que problemas de tamaño aparentemente inevitables se gestionan mediante el dispositivo de los universos de Grothendieck. Este paso más allá de la ZFC podría considerarse un engaño, que barre el problema bajo la alfombra por todas las razones correctas. Las acusaciones de esta naturaleza sobre el uso de la cohomología del functor derivado en teoría de números, como en la demostración del último teorema de Fermat, ya pueden darse por terminadas, como ha demostrado Colin McLarty en "A finite order arithmetic foundation for cohomology". http://arxiv.org/abs/1102.1773 .

C) La propia teoría de conjuntos está repleta de situaciones en las que la distinción entre conjunto y clase es de suma importancia. Por poner sólo un ejemplo, lo que yo entiendo, muy limitadamente, es que forzar sobre una clase adecuada de condiciones no es para incautos. Me interesaría que algún experto me lo explicara, pero mi pregunta va en otro sentido.

Una vez descartados estos ejemplos, tengo una lista muy corta de ejemplos que sí cumplen mis criterios.

1) Teorema de Freyd sobre la no concretabilidad de la categoría de homotopía en "La homotopía no es concreta" http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/6/tr6abs.html . Por definición, un concretización de una categoría es un functor fiel a la categoría de conjuntos. La categoría de homotopía (de espacios topológicos basados) no admite tal functor. El quid del argumento es que, mientras que cualquier objeto de una categoría concretizable sólo tiene un conjunto de subobjetos normales generalizados, hay objetos en la categoría de homotopía -por ejemplo $S^2$ - que no tienen esta propiedad (página 9). El comentario final original (página 6) menciona otro resultado de no concretizabilidad, para la categoría de categorías pequeñas y clases de equivalencia natural de funtores. Un purista podría tratar de descalificar este último como demasiado "matemático", pero el ejemplo de la homotopía parece irrefutable.

2) Una categoría en la que existen todos los (co)límites se dice que es (co)completar ; a bicompleto es una categoría completa y cocompleta. El Teorema General del Funtor Adjunto de Freyd da condiciones necesarias y suficientes para la existencia de adjuntos a un functor $\Phi:{\mathfrak A}\rightarrow{\mathfrak B}$ con $\mathfrak A$ (co)completar. Digamos que un funtor que preserva todos los límites es continuo y la que preserva todos los colímites es cocontinuo . A bicontinuo es un functor que es a la vez continuo y cocontinuo.

Digamos que $\Phi$ es acotado localmente si para cada $B\in {\rm Ob}\,{\mathfrak B}$ existe un conjunto $\Sigma$ tal que para cada $A\in{\rm Ob} \,{\mathfrak A}$ y $b\in{\rm Hom}_{\mathfrak B}(B,\Phi A)$ existe $\hat{A}\in{\rm Ob}\,{\mathfrak A}$ y $\hat{b}\in{\rm Hom}_{\mathfrak B}(B,\Phi\hat{A})\cap\Sigma$ tal que
$b=(\Phi \alpha)\hat{b}$ para algunos $\alpha\in{\rm Hom}$ $_{\mathfrak A}$ $(\hat{A},A)$ y que $\Phi$ es localmente cohesionado si para cada $B\in {\rm Ob}\,{\mathfrak B}$ existe un conjunto $\Sigma$ tal que para cada $A\in{\rm Ob}\,{\mathfrak A}$ y $b\in{\rm Hom}_{\mathfrak B}(\Phi A,B)$ existe $\hat{A}\in{\rm Ob}\,{\mathfrak A}$ y $\hat{b}\in{\rm Hom}_{\mathfrak B}(\Phi\hat{A},B)\cap\Sigma$ tal que $b=\hat{b}(\Phi \alpha)$ para algunos $\alpha\in{\rm Hom}_{\mathfrak A}(A,\hat{A})$ . En la literatura se conocen como condiciones del conjunto de soluciones.

Teorema. Sea $\Phi:{\mathfrak A}\rightarrow{\mathfrak B}$ sea un functor, donde $\mathfrak B$ es localmente pequeño.

$\star$ Si $\mathfrak A$ está completo, entonces $ \Phi$ admite un adjunto izquierdo si y sólo si $\Phi$ es continua y localmente acotada.
$\star$ Si $\mathfrak A$ es cocompleto entonces $ \Phi$ admite un adjunto derecho si y sólo si $\Phi$ es cocontinuo y localmente coacotado.

Véanse las páginas 120-123 de "Categories for the working mathematician" de MacLane.

La condición de (co)limitación local tiene contenido real. Por ejemplo:

a) El functor olvidadizo ${\bf CompleteBooleanAlgebra}\rightarrow{\bf Set}$ es continua pero no admite adjunto izquierdo.

b) Functores ${\bf Group}\rightarrow {\bf Set}$ continua pero que no admite adjunto izquierdo, puede obtenerse de la siguiente manera: sea $\Gamma_\alpha$ sea un grupo simple de cardinalidad $\aleph_\alpha$ ( Por ejemplo el grupo alterno sobre un conjunto de esa cardinalidad, o el grupo lineal especial proyectivo sobre un espacio vectorial bidimensional sobre un campo de esa cardinalidad) y tomar el producto (convenientemente interpretado), sobre la clase propia de todos los ordinales, de los functores ${\rm Hom}_{\bf Group}(\Gamma_\alpha,-)$ .

c) Freyd propuso otro ejemplo interesante (véase la página -15 del Prólogo a "Categorías abelianas" http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html ) de una categoría bicompleta localmente pequeña $\mathfrak S$ y un funtor bicontinuo $\Phi:{\mathfrak S}\rightarrow {\bf Set}$ que no admite ningún adjunto: hablando en términos generales, la categoría de conjuntos equipados con acciones de grupo libres, y el evidente functor de conjuntos subyacente.

¿Alguien conoce algún otro ejemplo, sobre todo fundamentalmente diferente?

Por último, se podría centrar la atención crítica en la propia cuestión planteada. ¿Hasta qué punto importa la fuerza y el sabor de la teoría de conjuntos de fondo? La fuerza de la costumbre y la comodidad me tienen trabajando implícitamente en alguna teoría de conjuntos material como ZF, quizás un poco más si quiero aprovechar la Elección, quizás un poco menos si prefiero evitar la Sustitución. De hecho, he comprobado que el ejemplo b) puede formularse en ausencia de Sustitución: aunque los ordinales de von Neumann ya no están disponibles, el mismo truco ya utilizado para dar una solución al producto ilegítimo sobre todos los ordinales muestra además que un sistema apropiado de ordinales locales es suficiente para la tarea. También me interesa mucho oír lo que tienen que decir los defensores de la teoría estructural de conjuntos.

Answer 1

En mi experiencia en análisis, básicamente el único lugar donde es realmente importante distinguir conjuntos de clases propias surge cuando uno desea invocar el lema de Zorn para localizar un objeto maximal en algún conjunto parcialmente ordenado no vacío $X$ en el que todas las cadenas estén acotadas (por ejemplo, para crear un subespacio propio maximal, un filtro maximal, un funcional lineal acotado de definición maximal, etc.). Aquí es crucial que $X$ es lo suficientemente "pequeño" como para ser un conjunto real (por ejemplo, es una colección de subconjuntos de algún espacio $V$ que ya se sabe que es un conjunto, o una colección de funciones de $V$ a otro conjunto). Por ejemplo, no se puede utilizar el lema de Zorn para construir un conjunto máximo en la clase de todos los conjuntos, o un grupo máximo en la clase de todos los grupos, o un espacio vectorial máximo en la clase de todos los espacios vectoriales, a pesar de que en cada una de estas clases, cualquier cadena tiene un límite superior (el límite directo). (Si tales objetos maximales existieran, pronto darían lugar a contradicciones del tipo de la paradoja de Russell o de la Paradoja Burali-Forti no por casualidad, una de las pruebas estándar del lema de Zorn procede por contradicción, utilizando el axioma de elección para incrustar todos los ordinales en $X$ que luego se puede utilizar para establecer la paradoja de Burali-Forti).

Dicho de otro modo: independientemente de los fundamentos que uno elija, es claramente deseable desde el punto de vista matemático poder localizar fácilmente objetos maximales de diversos tipos; pero obviamente también es deseable que la existencia de tales objetos maximales no nos lleve (o nos engañe) a paradojas del tipo Russell o Burali-Forti. ZFC, con el lema de Zorn por un lado y la distinción conjunto/clase por otro, consigue alcanzar ambos objetivos simultáneamente. Es de suponer que muchas otras opciones de fundamentos (en particular las que son esencialmente equivalentes a ZFC en un sentido lógico) también pueden lograr ambos objetivos a la vez, pero no suelo ver que se haga hincapié en estos puntos cuando se presentan en la literatura tales fundamentos alternativos.

Answer 2

Su pregunta no parece dirigida a los teóricos de los decorados, pero permítame la respuesta de un teórico de conjuntos.

Considero que la distinción conjunto/clase es análoga y, en última instancia, no realmente más problemática que las otras distinciones de tamaño que se suelen hacer en matemáticas.

Por ejemplo, estudiamos los grupos finitos como una y no nos preocupa que haya muchos tipos de isomorfismo. Simplemente no nos parece que haya infinitos grupos finitos. (Por ejemplo no esperamos deducir por el lema de Zorn que hay grupos finitos maximales. grupos finitos). O estudiamos la colección de grafos contables, dándonos cuenta de que hay incontables instancias, incluso en el mismo conjunto de vértices. incluso en el mismo conjunto de vértices. En términos más generales, podríamos estudiar $\kappa$ -espacios topológicos densos, o en todas las estructuras de un determinado de tamaño inferior a un cardinal $\kappa$ o en espacios de un dimensión o rango, etc.

Estas distinciones de tamaño son extremadamente comunes y forman parte de la forma en que pensamos matemáticamente; estas distinciones forman parte de la forma en que tallamos nuestro universo matemático en sus articulaciones. Del mismo modo, podemos manejar la distinción conjunto/clase, que es de del mismo carácter, ni especialmente misteriosa ni problemática.

En cada caso, debemos prestar atención a los detalles de la construcciones matemáticas que empleamos, para que estas construcciones no nos saquen de la clase en cuestión.

Como usted dice, la teoría de conjuntos está repleta de estas consideraciones de tamaño y distinciones similares. Toda la gran jerarquía cardinal es una investigación sobre diferentes tamaños del infinito. El concepto de universo de Grothendieck, que surge en la entrada de esa jerarquía, es una de esas medidas de distinción de tamaños, normalmente de tamaño, que los teóricos de conjuntos suelen considerar un poco tosca o torpe para los no teóricos de conjuntos porque es fácil de entender. Mientras tanto, la teoría de conjuntos teoría de conjuntos está llena de otros conceptos de universo más sutiles: los niveles de las jerarquías aritmética y proyectiva proporcionan "universos" de complejidad para objetos contables; los diversos universos de corte $H_\kappa$ , $L_\kappa$ , $V_\kappa$ se utilizan a menudo como conceptos de universo; los modelos internos del tamaño de la clase adecuada $L$ , $\text{HOD}$ , $L(\mathbb{R})$ , $L[0^\sharp]$ etc. proporcionan limitaciones del universo de fondo que no es sólo de "tamaño" sino de complejidad teórica. A grandes rasgos, todas estas limitaciones afectan a la argumentación matemática de forma similar, ya que hay que prestar atención a qué tipo de construcciones pueden llevarnos más allá de la limitación establecida.

La distinción conjunto/clase es una más de ellas.

Answer 3

Terry Tao ya ha mencionado el Lemma de Zorn para encontrar elementos maximales en pequeños órdenes parciales. En términos más generales, los colímitos en categorías sólo suelen existir para categorías de índice pequeño. De hecho, toda categoría que admita colímitos para todas las categorías de índice es equivalente a un orden parcial.

Otro ejemplo típico de este tipo es el argumento objeto pequeño . Dice que cualquier configure de morfismos en una categoría con ciertas condiciones produce un sistema de factorización débil functorial. La construcción transfinita no se detiene cuando empezamos con una clase de morfismos.

Otro ejemplo: Una categoría monoidal simétrica cocompleta es cerrada si y sólo si todos los functores $X \otimes -$ satisfacen la condición de solución. Todd Trimble ha dado una ejemplo donde esto falla. Es interesante que estar cerrado sea sólo una propiedad de los datos, pero la propiedad parece depender del tamaño.

Answer 4

Las clases adecuadas surgen cuando se agotan los medios para formar conjuntos. Necesitas un conjunto cuando necesitas saber que los medios de la teoría de conjuntos no se han agotado -- por ejemplo cuando quieres continuar y formar un colímite de las estructuras que has formado hasta ahora. Exactamente cuando los medios se han agotado, depende de qué medios de formación de conjuntos tienes.

Tomemos primero un ejemplo que agota la aritmética de segundo orden pero no agota la teoría de conjuntos de Zermelo (o la teoría de tipos simples): el grupo fundamental etale de un esquema aritmético. No existe una cubierta universal como las de los espacios topológicos y esto no es un problema lógico o de teoría de conjuntos sino inherente a la situación. (El esquema tiene cubiertas etale de cualquier grado finito, por lo que una cubierta universal podría no tener grado finito). Así que Grothendieck y otros formaron el colímite de todas las simetrías de las cubiertas etale (no universales, realmente existentes). La aritmética de segundo orden es suficiente para obtener el grupo de simetría de cualquier cubierta etale, pero como queremos el colímite de todas ellas, necesitamos un grupo incontable. La aritmética de segundo orden no lo producirá. El tercer orden sí.

Grothendieck y Dieudonné se encontraron a menudo con que querían colímitos más o menos así, sobre todos los casos de alguna estructura, pero no sólo todos los que existen en la aritmética de segundo orden. Dicho ingenuamente, querían todos los que existen en la teoría de conjuntos. Tal vez todas las álgebras sobre algún anillo, o todas las álgebras finitamente generadas. Sabían que hay una gran diferencia entre esos ejemplos, ya que ni siquiera existe un conjunto de todas las álgebras sobre un anillo hasta el isomorfismo (en cualquier teoría de conjuntos que consideraran). Elegir un conjunto contablemente infinito de generadores dará un conjunto de todas las álgebras finitamente generadas sobre ese anillo hasta el isomorfismo. Pero en cualquier caso, no querían preocuparse por esos detalles. Y con mayor razón querían evitar detalles análogos en casos más complejos.

Si realmente quieres hablar de todos los conjuntos, o de todas las equivalencias débiles naturales de functores de Top a Top, o de todos los subobjetos normales generalizados de $S^2$ en la categoría de homotopía entonces estás agotando los medios de la teoría de conjuntos (aunque los dos últimos casos son menos obvios que el primero).

Grothendieck y Dieudonne apreciaron perfectamente el punto. Conocían soluciones para encajar algunas de sus grandes construcciones en la teoría ordinaria de conjuntos, y confiaban en que se podrían encontrar otras. Pero eso no les interesaba. Se dieron cuenta de que cuando utilizaban todos los conjuntos, etc., no se referían a "todos" en ningún sentido metafísico. Eran todos los construidos por los medios ordinarios de la teoría de conjuntos, así que propusieron un medio no ordinario de construir conjuntos: cada conjunto está contenido en un universo. En cualquier punto trabajan dentro de algún universo, así que lo que serían clases propias en las cuentas ordinarias de la teoría de conjuntos son conjuntos en el siguiente universo más grande.