Sea $X$ sea un espacio afín topológico. Una medida gaussiana sobre $X$ se caracteriza por la propiedad de que sus proyecciones de dimensión finita son distribuciones gaussianas multivariantes.
¿Existe una caracterización directa de una medida gaussiana que no dependa de proyecciones de dimensión finita? Esta definición es análoga a describir un pato como el animal cuyas sombras se parecen a $2$ -patos dimensionales. La definición es suficiente para hacer el análisis, pero para mí se pierde la esencia de lo que es una medida gaussiana es como objeto matemático en sí mismo.
He aquí la definición precisa de una medida gaussiana con la que suelo trabajar, que se basa en el hecho de que los gaussianos se describen íntegramente por su estructura de covarianza.
Para $X$ un espacio afín topológico como el anterior, sea $X^*$ denota su espacio dual de funcionales afines. El espacio dual es un espacio lineal, ya que existe una función natural cero $0 \in X^*$ .
Sea $K : X^* \to X$ sea un operador afín continuo simétrico y no negativo-definido, es decir, $f'(Kf) = f(Kf')$ y $f(Kf) \ge 0$ para todos $f, f' \in X^*$ . Sea $m_K := K(0)$ denotan la imagen del funcional cero.
Existe una única medida gaussiana $P_K$ en $X$ con punto medio $m_K \in X$ y el operador de covarianza $K : X^* \to X$ . Es decir, si $\pi : X \to \mathbb R^n$ denota una proyección de dimensión finita, entonces la medida push-forward $\pi_* P_K := P_K \circ \pi^{-1}$ es un $n$ -dimensiona la distribución gaussiana con el vector medio $\pi(m_K) \in \mathbb R^n$ y la matriz de covarianza $\pi K \pi^*$ donde $\pi^* : (\mathbb R^n)^* \to K^*$ denota el operador adjunto formal.
Además, el teorema de estructura para medidas gaussianas afirma que todas las medidas gaussianas surgen de este modo. En consecuencia, podemos parametrizar el espacio de medidas gaussianas por el espacio $\mathcal K(X)$ de operadores simétricos no negativos de $X^*$ à $X$ .
Esto proporciona una respuesta débil a la pregunta planteada al principio de este post: sí, las medidas gaussianas pueden caracterizarse directamente por su estructura de covarianza. En consecuencia, aquí está la forma más fuerte de mi pregunta:
- ¿Existe una descripción geométrica del espacio $\mathcal K(X)$ de los operadores de covarianza gaussianos?
Por ejemplo, ¿es el espacio $\mathcal K(X)$ una colector infinito-dimensional? ¿Cuál es su grupo de simetría?
Edita: Mi post anterior define implícitamente la forma de covarianza de forma incorrecta. En el entorno afín, la forma de covarianza se define por $\langle f', f \rangle_K := f'(Kf) - f'(0)$ y las condiciones de simetría y de no negatividad son $\langle f', f \rangle_K = \langle f, f' \rangle_K$ y $\langle f, f \rangle_K \ge 0$ respectivamente. Es fácil verificar que esto define una forma bilineal en el espacio dual $X^*$ de funcionales afines.
