Demuestra que $\sum\limits_{1\leq m^2+n^2 \leq R^2} \frac{1}{m^2+n^2} = 2\pi \log R +O(1)$ como $R\to \infty$

Question

Este es un ejercicio del libro de texto de E.M.Stein: Análisis Complejo P279-3. Sobre la demostración de la serie $\sum_{n+m\tau \in \Lambda^{*}} \frac{1}{\vert n+m\tau \vert ^2}$ no converge, donde $\tau \in \mathbb{H}$ y celosías $\Lambda^{*}=\Lambda-(0,0)$ . La idea es que hemos conocido $\vert m\vert +\vert n\vert \approx \vert n+m\tau \vert.$ Basta con demostrar que

$$\sum_{1\leq m^2+n^2 \leq R^2} \frac{1}{m^2+n^2} = 2\pi \log R +O(1)$$ como $R\to \infty$ . ¿Cómo mostrar la identidad anterior?

Answer 1

Pista: Puedes comparar la suma con esta integral

$$ \iint_{ 1 \leq x^2 + y^2 \leq R^2 } \frac{dx dy}{x^2 + y^2} = \int_1^R \int_0^{2\pi} r \frac{dr}{r^2} = 2\pi \log R, $$ donde utilizamos coordenadas polares (integración sobre esferas en dimensiones superiores) para calcular la integral.

Answer 2

SUGERENCIA:

Puede considerar $a_{n} = \# \{(p,q)\| \ p^2 + q^2 = n\}$ y utilizar $a_1 + \ldots + a_n \simeq \pi n $ para obtener un presupuesto de $\sum \frac{a_n}{n}$ utilizando el Transformación de Abel .

Si sólo desea la divergencia de la serie y no estimaciones precisas, puede utilizar $m^2 + n^2 \simeq (|m|+|n|)^2$ y $b_n= \#\{(p,q) | \ |p|+|q|=n\}= 4(n+1)$ . En dimensiones superiores $d$ , $b_n$ crece como $n^{d-1}$ .