Si $T:\mathbb{R^n} \to \mathbb{R^m}$ y $\langle Tx,Ty\rangle _m= \langle x,y\rangle _n$ entonces, ¿qué podemos decir sobre $n$ y $m$ ?

Question

Sea $\langle,\rangle$ denotan el producto interior estándar en el espacio vectorial $\mathbb{R^n}$ tal que $\langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^{n}x_iy_i$ para vectores $x,y \in R^n$ . Sea $T:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m}$ sea un mapa lineal tal que $\langle Tx,Ty\rangle _m= \langle x,y\rangle _n$ . Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta? $\\$ (a) $n \geq m$ (b) $n \leq m$ (c) $n=m$ (d) El mapa $T$ está dentro.

Intento: De la condición dada tenemos $\langle Te_i, Te_j\rangle = \langle e_i,e_j\rangle = 1 $ Si $i =j$ de lo contrario $0$ . Sea $ A$ sea la matriz de $T$ con respecto a la base estándar, entonces $A^{T}A =I_n$ y $AA^{T} = I_m$ Entonces.., $A$ es inyectiva a partir de la primera igualdad y $A$ es suryectiva a partir de la segunda desigualdad. Por lo tanto $\dim(R^n) = \dim (R^m) \implies n=m$

Pero la respuesta es $(b)$ . Entonces, ¿qué hay de malo en mi planteamiento?

Answer 1

Si mira $T:\mathbb R\to\mathbb R^2, x\mapsto (x,0)$ se tiene la representación en la base estándar como

\begin{equation} T(x)=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} x \fin{ecuación} y \begin{equation} \langle Tx, Ty\rangle = x y + 0 \cdot 0 = xy. \end{equation}

Ahora, \begin{equation} \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=1=\mathrm{Id}_1, \end{equation} pero \begin{equation} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\neq\mathrm{Id}_2. \end{equation} En concreto, esto da un contraejemplo a (c), (a) y (d).

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(b) puede demostrarse de la siguiente manera: $T$ debe ser inyectiva, porque si $x\neq y$ entonces $$\lvert T(x-y)\rvert^2=\langle T(x-y),T(x-y)\rangle=\langle x-y, x-y\rangle\neq 0,$$ para que $Tx\neq Ty$ .

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El argumento anterior en su formulación: Para cualquier $x,y\in\mathbb R^n$ tenemos $$\langle x,y\rangle = \langle T x, T y\rangle = \langle A x, A y\rangle = \langle x, A^\top A y\rangle.$$ Insertando los vectores base para $x$ y $y$ implica que el mapa lineal $A^\top A$ debe ser la identidad. No hay manera de concluir que $AA^\top$ es la identidad.