Inversión de la transformada de Fourier para una distribución de Fisher

Question

La función característica de Fisher $\mathcal{F}(1,\alpha)$ distribución es: $$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$$ donde $U$ es el función hipergeométrica confluente . Estoy intentando resolver la transformada inversa de Fourier $\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$ de la $n$ -convolución para recuperar la densidad de una variable $x$ Eso es: $$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$$ con el fin de obtener la distribución de la suma de $n$ Variables aleatorias con distribución de Fisher. Me pregunto si alguien tiene alguna idea ya que parece muy difícil de resolver. He probado con valores de $\alpha=3$ y $n=2$ en vano. Nota: para $n=2$ por convolución obtengo el pdf de la media (no suma):

$$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$$ ,

donde $x$ es una media de 2 variables. Sé que es poco manejable pero me encantaría tener una idea de la aproximación de la distribución de la cuenca.

Answer 1

No existe una densidad de forma cerrada para una convolución de estadísticos F, por lo que intentar invertir la función característica analíticamente no es probable que conduzca a nada útil.

En estadística matemática, la expansión de Edgeworth inclinada (también conocida como aproximación del punto de silla) es una técnica famosa y utilizada a menudo para aproximar una función de densidad dada la función característica. La aproximación del punto de ensilladura suele ser muy precisa. Ole Barndorff-Nielsen y David Cox escribieron un libro de texto explicando esta técnica matemática.

Hay otras formas de abordar el problema sin utilizar la función característica. Cabría esperar que la distribución de la convolución tuviera una forma parecida a una distribución F. Se podría intentar una aproximación como $aF(n,k)$ para la $n$ -convolución y, a continuación, seleccione $a$ y $k$ para que los dos primeros momentos de la distribución sean correctos. Esto es fácil dada la media y la varianza conocidas de la distribución F.

Si $\alpha$ es grande, entonces la convolución converge a una distribución chisquare en $n$ grados de libertad. Esto equivale a elegir $a=n$ y $k=\infty$ en la aproximación anterior, lo que demuestra que la aproximación simple es exacta para grandes $\alpha$ .