Demostrar que la traslación a la izquierda en un grupo de Hausdorff localmente compacto es continua.

Question

Sea $G$ sea un grupo de Hausdorff localmente compacto, y sea $C_{bu}(G)$ sea el conjunto de todas las funciones uniformemente continuas y acotadas $G \to \mathbb{C}$ .

Definir la traslación a la izquierda, $\lambda:G \to \text{Aut}(C_{bu}(G))$ tal que $(\lambda_{g}f)(x)=f(g^{-1}x)$ .

¿Cómo puedo demostrar que $\lambda$ ¿es una función continua?

Sé que la definición de continuidad en un grupo topológico es que una función es continua si para cualquier conjunto abierto en la imagen, la preimagen de la misma también es abierta. No estoy seguro de cómo comprobar que la preimagen es abierta en este caso.

Answer 1

Recordemos que una red $ (T_\alpha)_\alpha \in Aut(\mathcal{C}_{bu}(G))$ converge a $T \in Aut(\mathcal{C}_{bu}(G))$ si y sólo si para cada $f\in \mathcal{C}_{bu}(G)$ tenemos que $\lim_\alpha T_\alpha(f) = T(f)$ .

Sea $(g_\alpha)_\alpha \in G$ sea una red que converge a algún $g\in G$ y que $f\in \mathcal{C}_{bu}(G)$ . Entonces podemos calcular que $\lim_\alpha \lambda(g_\alpha)(f)= \lim_\alpha g_\alpha f = gf$ ya que sabemos que el mapa $g \longmapsto gf$ es orbitalmente continua.