Espacios sin estructura de monoide topológico que son homotópicamente equivalentes a monoides topológicos

Question

Para motivar $A_\infty$ -a mis alumnos voy a insistir en la invariancia homotópica de la noción, diciendo que "siendo $A_\infty$ es la versión invariante homotópica de ser un monoide topológico" y para subrayar esto me gustaría decir que si $X$ es un monoide topológico y $Y$ es un espacio homotópico equivalente a $X$ entonces $Y$ llevará un $A_\infty$ -por lo que equivale a $X$ como $A_\infty$ -pero en general no una estructura topológica monoide con esta propiedad. ¡Pero en este punto veo para mi vergüenza que me falta un ejemplo explícito de esto!

Evidentemente, el ejemplo más dramático sería el de un espacio $Y$ que es homotópicamente equivalente a un monoide topológico $X$ pero $Y$ no lleva ninguna estructura topológica monoide, para no tener que entrar en el tema de la equivalencia. Durante un tiempo pensé que el intervalo cerrado podría ser un ejemplo de esto (doble vergüenza: hay al menos dos estructuras monoidales topológicas muy sencillas y bien conocidas sobre $[0,1]$ !), así que estoy completamente sin ejemplos, y tampoco sé si tal espacio $Y$ existe realmente.

¿Alguna sugerencia?

edit: a pesar de que originalmente formulé mi pregunta de la forma más dramática posible, un ejemplo en el que, dada una equivalencia homotópica $f:Y\to X$ no existe ninguna estructura monoide en $Y$ tal que $\pi_0(f)$ es un isomorfismo de monoides $\pi_0(Y)\to \pi_0(X)$ es aún mejor para lo que necesito explicar, a saber, que pasar de monoides a $A_\infty$ -espacios no sólo $Y$ está naturalmente dotado de un $A_\infty$ -estructura espacial, pero $f$ se promueve a una equivalencia de $A_\infty$ -espacios. Así que voy a dejar la pregunta original abierta como una pregunta de topología general que puede tener su interés por sí misma (a pesar de que es cierto que es una pregunta impar), mientras que para mí voy a estar perfectamente satisfecho con la respuesta muy agradable por Tyler a continuación.

Answer 1

Sea E un espacio contractible, y $X = E \coprod \{0\}$ . Entonces existe una equivalencia homotópica de $X$ a $\mathbb{Z}/2$ enviando todo $E$ a $1$ y $0$ a $0$ . La estructura monoide en $\mathbb{Z}/2$ eleva a un $A_\infty$ estructura en $X$ .

Supongamos que podemos hacer que esto provenga de una estructura topológica monoide. Comprobando la estructura monoide inducida en $\pi_0$ encontramos que la unidad para la estructura monoide tendría que estar en el componente de $0$ y, por tanto, tendría que ser igual a $0$ . Entonces, para cualquier elemento $e$ y $f$ en $E$ su producto $ef$ está en el componente de $0$ (y por tanto es $0$ ). Por lo tanto: dos elementos cualesquiera de $E$ son inversos a la izquierda y a la derecha. Por el truco estándar de unicidad para los inversos izquierda-derecha, esto sólo puede ocurrir en el caso en que $E$ es un singleton.

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EDIT: Como señala Benjamin Steinberg, esto no responde realmente a la pregunta planteada porque supone que estamos fijando una equivalencia homotópica a algún monoide. Yo, en este momento, no tengo una versión mejor, pero aquí hay un argumento basado en algo que Tom Goodwillie había publicado en los comentarios.

Supongamos que $X$ es inconexo, y puede escribirse como una unión disjunta de conjuntos abiertos no vacíos $U$ y $V$ donde $U$ admite la estructura de un monoide topológico. Entonces podemos definir una estructura de monoide topológico sobre $X$ ampliando que el $U$ eligiendo un punto $* \in V$ y definiendo $uv = vu = v$ si $u \in U, v \in V$ y $v v' = *$ para todos $v,v' \in V$ . Por lo tanto, si buscamos un ejemplo que esté, digamos, localmente conectado por una trayectoria, también podríamos buscar un ejemplo conectado por una trayectoria, porque si cualquier componente de la trayectoria de $X$ admite una estructura monoide topológica podemos extenderla a todos los $X$ . (He jugado un poco a identificar esto como una estructura monoide, pero creo que es correcto).

Answer 2

Consulte aquí: Álgebras sobre la operada de pequeños discos

La pregunta formulada allí era diferente/más general, pero las respuestas abordan realmente la pregunta restringida formulada aquí.

Answer 3

Podemos modificar el argumento de Neil en el otro hilo para dar un ejemplo de un espacio contractible sin estructura monoide.

Sea T un árbol con la siguiente propiedad:

Para cada punto x en T, hay al menos dos componentes de T \ x que contienen un vértice al menos trivalente.

En particular, el complemento de x debe tener al menos dos componentes, por lo que T no puede contener ningún vértice 1-valente.

Por ejemplo, T es la cubierta universal del grafo theta.

Supongamos ahora que T tiene una estructura monoide. Usando el argumento de Neil, podemos obtener algunos resultados de invertibilidad. A saber, x e y son puntos en dos componentes diferentes del complemento de la identidad. Entonces hay un camino de (e,y) a (x,y) a (x,e) en $T\times T$ que mantiene fija y en la primera mitad y x en la segunda mitad. La imagen de este camino debe pasar por e, por lo que o x o y es invertible. Esto implica que todos los puntos de todas las componentes del complemento de e, excepto uno, son invertibles. Entonces hay un vértice g al menos trivalente distinto de e que es invertible y un camino no constante desde $g^{-1}$ a e a través de elementos invertibles. Esto da una homotopía de homeomorfismos de T a T por multiplicación por la izquierda. La imagen de g en el tiempo 0 es e; en el tiempo 1 es g. Esto significa que en algún momento entre ellos, g debe ser llevado a un punto interno de una arista de T; ningún homeomorfismo puede hacer eso.

Tal T es homotópicamente equivalente a un punto pero no puede tener estructura monoide.

Answer 4

Se sabe que el cierre topológico de la curva $y=\sin(1/x)$ no tiene estructura de monoide topológico pero no sé si es homotópicamente equivalente a un monoide.

Edita. Se muestra aquí que no se puede poner ninguna estructura monoide en este espacio para la que la multiplicación sea separadamente continua.