Prueba de que la relación de subconjunto es reflexiva y transitiva

Question

Estoy aprendiendo teoría de conjuntos y no estoy seguro de lo detallado que debo ser cuando me piden que demuestre cosas.

Aquí está mi prueba de que $A\subseteq A$ (la relación de subconjunto es reflexiva):

$A \subseteq B$ si $((x \in A) \implies (x \in B))$

$A \subseteq A$ si $((x \in A) \implies (x \in A))$

$(x \in A) \implies (x \in A)$ es siempre verdadera, ya que algo que se implica a sí mismo debe ser verdadero (¿hay una manera formal de escribir esto?)

Por lo tanto $ A \subseteq A$ siempre es verdad.

¿Es esta prueba lo suficientemente formal y contiene la cantidad adecuada de detalles?

Answer 1

Su prueba es correcta.

Dos comentarios :

(i) En lugar de $A⊆B \implies ((x∈A) \implies (x∈B))$ Prefiero :

$A⊆B$ si $((x∈A) \implies (x∈B))$

porque el RHS es el definición de inclusión de conjuntos.

(ii) $x \in A \implies x \in A$ es una instancia de la "ley lógica" :

$\mathcal A \implies \mathcal A$

que es un tautología de lógica proposicional .

Las reglas de la lógica nos permiten sustituir el carta proposicional $\mathcal A$ una fórmula cualquiera, y el resultado sigue siendo verdadero, siempre que sustituyamos todas las ocurrencias de $\mathcal A$ con la misma fórmula.

Answer 2

El usuario escribió:

$(x \in A) \implies (x \in A)$ es siempre verdadera, ya que algo que se implica a sí mismo debe ser verdadero (¿hay una manera formal de escribir esto?)

Sin duda, es más que suficientemente riguroso para la mayoría de los cursos de matemáticas, incluso de nivel superior.

Sin embargo, para que sea una prueba verdaderamente formal, dependiendo de los axiomas y las reglas que se te permitan, necesitarías algo parecido a:

1. $x\in A$ (Premisa)

2. $x\in A\implies x\in A$ (Conclusión)

3. $\forall a:[a\in A\implies a\in A]$ (Generalización universal)

En cada línea numerada, tendrías que citar el axioma o regla específicos utilizados para obtener ese resultado. En mi ejemplo, me refiero a los axiomas de la lógica denominados Premisa, Conclusión y Generalización Universal (los nombres y el uso variarán). En general, en un formal prueba, es una línea, una regla. Afortunadamente, la mayoría de los cursos no requerirán este nivel de detalle.

Answer 3

Estoy practicando mis habilidades de prueba de conjuntos. Tal vez alguien podría beneficiarse de ella, o señalar un error en la solución.

La prueba de

${A \subseteq A}$

${\forall_x, [(x \in A) \to (x \in A)]}$ def subconjunto

${\forall_x, [\lnot(x \in A) \lor (x \in A)]}$ implicación ley de conversión

${\forall_x, T}$ ley del término medio excluido

Así que la afirmación se reduce a una tautología, por lo que debe ser cierta.